Determine o domínio da função e faça um esboço de .
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ e fazer um esboço desse domínio no plano $ \mathbb{R}^{2} $.
Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de $ x $ e $ y $ que fazem a função valer uma quantidade real. No caso da raiz quadrada, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
x^2 - y^2 - 1 >= 0
Isso porque a raiz quadrada só existe para números não negativos.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade:
x^2 - y^2 - 1 >= 0 Rightarrow x^2 - y^2 >= 1
Isso significa que a diferença entre $ x^{2} $ e $ y^{2} $ tem que ser pelo menos 1.

Passo 4

Vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a visualização:
x^2 - y^2 >= 1 Rightarrow x^21 - y^21 >= 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole. Uma hipérbole é uma curva que consiste em dois ramos simétricos.

Passo 5

Para entender melhor o domínio, vamos considerar a equação da hipérbole:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
No nosso caso, $ a^{2} = 1 $ e $ b^{2} = 1 $, então $ a = 1 $ e $ b = 1 $. A hipérbole abre para os lados direito e esquerdo no plano $ \mathbb{R}^{2} $.

Passo 6

Agora, como queremos $ \frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{1} \geq 1 $, isso significa que estamos interessados nos pontos fora da hipérbole, porque a diferença é maior ou igual a 1. Ou seja, o domínio $ D $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que estão fora da hipérbole definida por $ x^{2} - y^{2} = 1 $.

Passo 7

Vamos resumir:
  • O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ é dado por todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} - y^{2} \geq 1 $.
  • Graficamente, isso corresponde a todas as regiões fora da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $.

Resposta

O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} - y^{2} \geq 1 $. No plano $ \mathbb{R}^{2} $, $ D $ corresponde às regiões fora da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $.

Exercícios relacionados