Determine o domínio
da função
e faça um esboço de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ e fazer um esboço desse domínio no plano $ \mathbb{R}^{2} $.
Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de $ x $ e $ y $ que fazem a função valer uma quantidade real. No caso da raiz quadrada, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Isso porque a raiz quadrada só existe para números não negativos.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que a diferença entre $ x^{2} $ e $ y^{2} $ tem que ser pelo menos 1.
Passo 4
Vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a visualização:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole. Uma hipérbole é uma curva que consiste em dois ramos simétricos.
Passo 5
Para entender melhor o domínio, vamos considerar a equação da hipérbole:
No nosso caso, $ a^{2} = 1 $ e $ b^{2} = 1 $, então $ a = 1 $ e $ b = 1 $. A hipérbole abre para os lados direito e esquerdo no plano $ \mathbb{R}^{2} $.
Passo 6
Agora, como queremos $ \frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{1} \geq 1 $, isso significa que estamos interessados nos pontos fora da hipérbole, porque a diferença é maior ou igual a 1. Ou seja, o domínio $ D $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que estão fora da hipérbole definida por $ x^{2} - y^{2} = 1 $.
Passo 7
Vamos resumir:
- O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ é dado por todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} - y^{2} \geq 1 $.
- Graficamente, isso corresponde a todas as regiões fora da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $ no plano $ \mathbb{R}^{2} $.
Resposta
O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2} - 1} $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ que satisfazem $ x^{2} - y^{2} \geq 1 $. No plano $ \mathbb{R}^{2} $, $ D $ corresponde às regiões fora da hipérbole $ x^{2} - y^{2} = 1 $.