Determine o maior valor que pode assumir o volume de um paralelepípedo reto retângulo inscrito no elipsoide
, onde
e
são constantes reais positivas. Utilize o resultado encontrado para concluir que quando
, então o volume máximo ocorre quando o paralelepípedo é, de fato, um cubo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o maior volume possível de um paralelepípedo reto retângulo que está dentro de um elipsoide dado pela equação:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes positivas. Além disso, depois de achar esse volume máximo, a gente precisa mostrar que, quando $ a = b = c $, o paralelepípedo que maximiza o volume é na verdade um cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e otimização, mais especificamente o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o volume do paralelepípedo. Se ele é reto e retângulo, o volume $ V $ é dado por:
Aqui, $ x $, $ y $ e $ z $ são as semidimensões do paralelepípedo nos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, respectivamente. O 8 vem porque estamos considerando que o paralelepípedo está centralizado na origem, então cada dimensão se estende em ambas as direções positivas e negativas.
Passo 3
Agora, a gente quer maximizar esse volume $ V $ sujeito à restrição que o paralelepípedo está dentro do elipsoide. Isso significa que os pontos $ (x, y, z) $ do paralelepípedo devem satisfazer a equação do elipsoide:
Passo 4
Para maximizar $ V = 8xyz $ com essa restrição, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a uma condição.
Definimos a função Lagrangeana:
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Agora, vamos achar as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ \lambda $ e igualar a zero:
Passo 6
Vamos resolver essas equações. A partir das primeiras três equações, podemos isolar $ \lambda $:
Igualando as expressões para $ \lambda $:
Passo 7
Da equação $ a{2}y{2} = b{2}x{2} $, podemos escrever:
Da equação $ b{2}z{2} = c{2}y{2} $, substituindo $ y $ da equação anterior:
Passo 8
Agora, temos $ y $ e $ z $ em função de $ x $. Vamos substituir isso na equação do elipsoide:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos $ x = \frac{a}{\sqrt{3}} $, podemos encontrar $ y $ e $ z $:
Passo 10
Agora, vamos calcular o volume máximo usando $ V = 8xyz $:
Passo 11
Por fim, vamos verificar o caso especial quando $ a = b = c $. Se substituirmos $ a = b = c $ na expressão do volume máximo:
Isso mostra que, quando todas as dimensões do elipsoide são iguais, o paralelepípedo que maximiza o volume também tem todas as suas dimensões iguais, ou seja, é um cubo.
Resposta
O maior volume que o paralelepípedo pode assumir é $ \frac{8abc}{3\sqrt{3}} $. Além disso, quando $ a = b = c $, o volume máximo ocorre quando o paralelepípedo é um cubo.