Determine o domínio
da função
e faça um esboço de
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = \sqrt{y - x^{2}} + \sqrt{2x - y} $. A gente precisa descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os pares
que fazem a função valer algo válido (sem coisas impossíveis como a raiz de número negativo). Além disso, vamos esboçar esse domínio no plano
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de varias variáveis e condições para radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as raízes quadradas na função. A gente sabe que a expressão dentro de uma raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo nos números reais. Então, vamos estabelecer duas condições:
- $ y - x^{2} \geq 0 $
- $ 2x - y \geq 0 $
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição: $ y - x^{2} \geq 0 $. Isso significa que $ y \geq x^{2} $. Geometricamente, isso representa todos os pontos acima ou sobre a parábola $ y = x^{2} $.
Passo 4
Agora, a segunda condição: $ 2x - y \geq 0 $. Isso pode ser reescrito como $ y \leq 2x $. Geometricamente, isso representa todos os pontos abaixo ou sobre a reta $ y = 2x $.
Passo 5
Para encontrar o domínio $ D $, precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Então, vamos combinar as duas desigualdades:
Isso significa que para cada valor de $ x $, $ y $ deve estar entre $ x^{2} $ e $ 2x $.
Passo 6
Agora, vamos visualizar isso no plano
. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que abre para cima, e $ y = 2x $ é uma reta que passa pela origem com inclinação 2. O domínio $ D $ será a área onde a parábola está abaixo da reta, ou seja, entre elas.
Resposta
O domínio $ D $ da função $ f(x, y) = \sqrt{y - x^{2}} + \sqrt{2x - y} $ é o conjunto de pontos
em
que satisfazem $ x^{2} \leq y \leq 2x $. Geometricamente, $ D $ é a região entre a parábola $ y = x^{2} $ e a reta $ y = 2x $ no plano cartesiano.