Determine o domínio da função f e faça um esboço mostrando como uma região em \mathbb{R}^{2} seja o conjunto de pontos do domínio de f. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite no domínio.
f(x, y)=\sqrt{16-x^{2}-4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio da função f dada por f(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-4y^{2}}; (2) fazer um esboço em \mathbb{R}^{2} da região que é o conjunto de pontos do domínio, usando curvas pontilhadas para partes do limite que NÃO estão no domínio e curvas contínuas para partes do limite que ESTÃO no domínio.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-4y^{2}} e as variáveis x e y variam em \mathbb{R}. Não há mais dados fornecidos.

Passo 2

Entendendo o que impede que um ponto (x,y) pertença ao domínio: a raiz quadrada em \sqrt{\cdot} só está definida (em \mathbb{R}) quando o argumento é maior ou igual a zero. Ou seja, para que f(x,y) seja um número real, é necessário e suficiente que
16 - x^{2} - 4y^{2} \ge 0.
Isso é o conceito básico: dentro da raiz deve haver um número não negativo. Sempre que eu usar uma fórmula, eu explico o que cada parte significa — aqui x e y são as coordenadas no plano e a condição acima determina quais coordenadas deixam a expressão dentro da raiz não negativa.

Passo 3

Agora resolvo a desigualdade para escrever o domínio de forma mais clara. Parto de
16 - x^{2} - 4y^{2} \ge 0.
Isolando os termos quadráticos:
x^{2} + 4y^{2} \le 16.
Divido ambos os lados por 16 para colocar na forma padrão de uma elipse:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} \le 1.
Esta é a equação-inequação de uma elipse preenchida (região interna) centrada na origem.

Passo 4

Interpretação geométrica e parâmetros da elipse: a forma \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}\le 1 é uma elipse com centro em (0,0). Os semi-eixos são
a=4\quad\text{(direção \(x\))},\qquad b=2\quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Os pontos de interseção com os eixos são (\pm 4,0) e (0,\pm 2). A desigualdade “ \le 1” indica que TODA a região dentro da elipse e a própria fronteira (onde vale igualdade) pertencem ao domínio.

Passo 5

Justificativa de incluir a fronteira: quando x^{2}+4y^{2}=16 temos 16-x^{2}-4y^{2}=0, e \sqrt{0}=0 é bem definido. Portanto os pontos da curva limite (a elipse) pertencem ao domínio. Não há partes do limite excluídas; logo não há trechos pontilhados necessários na fronteira — a fronteira inteira é parte do domínio e deve ser desenhada com linha contínua.

Passo 6

Como esboçar a região em \mathbb{R}^{2} passo a passo (faça isso no papel):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y com a origem no centro.
  2. Marque os pontos (4,0), (-4,0), (0,2) e (0,-2).
  3. Desenhe uma elipse passando por esses quatro pontos, com contorno suave — essa é a fronteira. Use linha contínua porque a fronteira pertence ao domínio.
  4. Sombreie (ou preencha) toda a região interior da elipse: esse é o domínio.
    Como alternativa, para parametrizar a fronteira use
x=4\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
o que gera a curva elíptica com linha contínua. Não há partes pontilhadas porque nenhuma parte do limite está fora do domínio.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Ponto dentro: (0,0) 16-0-0=16\ge 0, logo pertence ao domínio e f(0,0)=\sqrt{16}=4.
  • Ponto na fronteira: (4,0) 16-16-0=0, pertence ao domínio e f(4,0)=0.
  • Ponto fora: (5,0) 16-25=-9<0, então não pertence ao domínio.

Resposta

\displaystyle D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+4y^{2}\le 16\}
A figura: região preenchida pela elipse \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 (centro em (0,0), semi-eixos 4 em x e 2 em y), com a fronteira desenhada por linha contínua (sem trechos pontilhados).

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