Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite no domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio da função
dada por
; (2) fazer um esboço em
da região que é o conjunto de pontos do domínio, usando curvas pontilhadas para partes do limite que NÃO estão no domínio e curvas contínuas para partes do limite que ESTÃO no domínio.
Informações dadas: a função é e as variáveis
e
variam em
. Não há mais dados fornecidos.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Entendendo o que impede que um ponto
pertença ao domínio: a raiz quadrada em
só está definida (em
) quando o argumento é maior ou igual a zero. Ou seja, para que
seja um número real, é necessário e suficiente que
Isso é o conceito básico: dentro da raiz deve haver um número não negativo. Sempre que eu usar uma fórmula, eu explico o que cada parte significa — aqui
e
são as coordenadas no plano e a condição acima determina quais coordenadas deixam a expressão dentro da raiz não negativa.
Passo 3
Agora resolvo a desigualdade para escrever o domínio de forma mais clara. Parto de
Isolando os termos quadráticos:
Divido ambos os lados por
para colocar na forma padrão de uma elipse:
Esta é a equação-inequação de uma elipse preenchida (região interna) centrada na origem.
Passo 4
Interpretação geométrica e parâmetros da elipse: a forma
é uma elipse com centro em
. Os semi-eixos são
Os pontos de interseção com os eixos são
e
. A desigualdade “
” indica que TODA a região dentro da elipse e a própria fronteira (onde vale igualdade) pertencem ao domínio.
Passo 5
Justificativa de incluir a fronteira: quando
temos
, e
é bem definido. Portanto os pontos da curva limite (a elipse) pertencem ao domínio. Não há partes do limite excluídas; logo não há trechos pontilhados necessários na fronteira — a fronteira inteira é parte do domínio e deve ser desenhada com linha contínua.
Passo 6
Como esboçar a região em
passo a passo (faça isso no papel):
- Desenhe um sistema de eixos
e com a origem no centro. - Marque os pontos
, , e . - Desenhe uma elipse passando por esses quatro pontos, com contorno suave — essa é a fronteira. Use linha contínua porque a fronteira pertence ao domínio.
- Sombreie (ou preencha) toda a região interior da elipse: esse é o domínio.
Como alternativa, para parametrizar a fronteira use
o que gera a curva elíptica com linha contínua. Não há partes pontilhadas porque nenhuma parte do limite está fora do domínio.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Ponto dentro:
dá , logo pertence ao domínio e . - Ponto na fronteira:
dá , pertence ao domínio e . - Ponto fora:
dá , então não pertence ao domínio.
Resposta
A figura: região preenchida pela elipse
(centro em
, semi-eixos
em
e
em
), com a fronteira desenhada por linha contínua (sem trechos pontilhados).