Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, assuma a>0
\mathbf{R}(t)=2 t \mathbf{i}+2 t^{3} \mathbf{j} ; \quad de t=1 a t=2.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=2t\,\mathbf{i}+2t^{3}\,\mathbf{j}
no intervalo de parâmetro t de t=1 até t=2. A pergunta é: determinar o comprimento do arco da curva entre esses valores de t.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Componente }x(t)=2t,\\\ &\text{Componente }y(t)=2t^{3},\\\ &\text{Intervalo: }t\in[1,2]. \end{aligned}

Passo 2

Fórmula que vamos usar (essa é a ferramenta principal): para uma curva dada por \mathbf{R}(t) com t\in[a,b], o comprimento do arco é
L=\int_{a}^{b}\big\|\mathbf{R}'(t)\big\|\,dt,
onde \mathbf{R}'(t) é a derivada vetorial e \|\mathbf{R}'(t)\| é a sua magnitude. Explicando as partes: \mathbf{R}'(t) dá a velocidade vetorial (componentes das derivadas das coordenadas) e \|\mathbf{R}'(t)\| é a velocidade escalar, que, integrada no tempo t, dá o comprimento do percurso.

Passo 3

Calculemos \mathbf{R}'(t) componente a componente. Lembre que a derivada de 2t em relação a t é 2 e a derivada de 2t^{3} é 6t^{2}. Então
\mathbf{R}'(t)=2\,\mathbf{i}+6t^{2}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Agora a magnitude de \mathbf{R}'(t):
\big\|\mathbf{R}'(t)\big\|=\sqrt{(2)^{2}+(6t^{2})^{2}}=\sqrt{4+36t^{4}}.
Fatorando 4 embaixo da raiz fica mais simples:
\big\|\mathbf{R}'(t)\big\|=2\sqrt{1+9t^{4}}.
Aqui eu só usei a propriedade \sqrt{4(1+9t^{4})}=2\sqrt{1+9t^{4}}.

Passo 5

Montamos o integral do comprimento usando a fórmula do Passo 2:
L=\int_{1}^{2}2\sqrt{1+9t^{4}}\,dt.
Observação importante (teórica): a primitiva de \sqrt{1+9t^{4}} não é expressável em termos de funções elementares usuais (aparece função elíptica). Portanto, para obter um valor numérico do comprimento, precisamos fazer uma aproximação numérica do integral.

Passo 6

Escolho o método de integração numérica de Simpson (é preciso, eficaz e dá boa precisão com poucos pontos). A regra de Simpson para n subintervalos (com n par) diz:
\int_{a}^{b} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\big(f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+\cdots +4f_{n-1}+f_{n}\big),
onde h=(b-a)/n e f_{k}=f(a+kh). Vou usar n=4 subintervalos (suficiente para boa aproximação e cálculo manual razoável).

Passo 7

Calculemos h e os pontos:
h=\frac{2-1}{4}=0,25.
Os pontos são
t_{0}=1,\; t_{1}=1,25,\; t_{2}=1,5,\; t_{3}=1,75,\; t_{4}=2.

Passo 8

Definimos a função a integrar
f(t)=2\sqrt{1+9t^{4}}.
Agora avaliamos f nos pontos t_{k}. Vou mostrar os cálculos intermediários (primeiro t^{4}, depois 1+9t^{4}, depois raiz e por fim multiplicação por 2).
Para t_{0}=1:
t_{0}^{4}=1,\quad 1+9t_{0}^{4}=10,\quad \sqrt{10}\approx 3,162277660,\quad f_{0}=2\sqrt{10}\approx 6,324555320.
Para t_{1}=1,25:
t_{1}^{4}=2,44140625,\quad 1+9t_{1}^{4}=22,97265625,\quad \sqrt{22,97265625}\approx 4,79297990,
f_{1}=2\cdot 4,79297990\approx 9,585959800.
Para t_{2}=1,5:
t_{2}^{4}=5,0625,\quad 1+9t_{2}^{4}=46,5625,\quad \sqrt{46,5625}\approx 6,823261999,
f_{2}=2\cdot 6,823261999\approx 13,646523998.
Para t_{3}=1,75:
t_{3}^{4}=9,37890625,\quad 1+9t_{3}^{4}=85,41015625,\quad \sqrt{85,41015625}\approx 9,241761600,
f_{3}=2\cdot 9,241761600\approx 18,483523200.
Para t_{4}=2:
t_{4}^{4}=16,\quad 1+9t_{4}^{4}=145,\quad \sqrt{145}\approx 12,041594579,
f_{4}=2\sqrt{145}\approx 24,083189158.
(As aproximações numéricas acima foram obtidas por aproximações sucessivas; mantive várias casas decimais para reduzir o erro acumulado.)

Passo 9

Aplicando a regra de Simpson com h=0,25 e n=4:
L\approx \frac{h}{3}\big(f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+f_{4}\big).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+f_{4} &\approx 6,324555320+4\cdot 9,585959800+2\cdot 13,646523998\\\ &\quad +4\cdot 18,483523200+24,083189158\\\ &\approx 169,978724478. \end{aligned}
Então
L\approx \frac{0,25}{3}\cdot 169,978724478=\frac{1}{12}\cdot 169,978724478\approx 14,1648937065.

Resposta

L\approx 14,1649

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