Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, assuma a>0 \mathbf{R}(t)=2 t \mathbf{i}+2 t^{3} \mathbf{j} ; \quad de t=1 a t=2.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=2t\,\mathbf{i}+2t^{3}\,\mathbf{j}
no intervalo de parâmetro t de t=1 até t=2. A pergunta é: determinar o comprimento do arco da curva entre esses valores de t.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Fórmula que vamos usar (essa é a ferramenta principal): para uma curva dada por \mathbf{R}(t) com t\in[a,b], o comprimento do arco é
L=\int_{a}^{b}\big\|\mathbf{R}'(t)\big\|\,dt,
onde \mathbf{R}'(t) é a derivada vetorial e \|\mathbf{R}'(t)\| é a sua magnitude. Explicando as partes: \mathbf{R}'(t) dá a velocidade vetorial (componentes das derivadas das coordenadas) e \|\mathbf{R}'(t)\| é a velocidade escalar, que, integrada no tempo t, dá o comprimento do percurso.
Passo 3
Calculemos \mathbf{R}'(t) componente a componente. Lembre que a derivada de 2t em relação a t é 2 e a derivada de 2t^{3} é 6t^{2}. Então
Aqui eu só usei a propriedade \sqrt{4(1+9t^{4})}=2\sqrt{1+9t^{4}}.
Passo 5
Montamos o integral do comprimento usando a fórmula do Passo 2:
L=\int_{1}^{2}2\sqrt{1+9t^{4}}\,dt.
Observação importante (teórica): a primitiva de \sqrt{1+9t^{4}} não é expressável em termos de funções elementares usuais (aparece função elíptica). Portanto, para obter um valor numérico do comprimento, precisamos fazer uma aproximação numérica do integral.
Passo 6
Escolho o método de integração numérica de Simpson (é preciso, eficaz e dá boa precisão com poucos pontos). A regra de Simpson para n subintervalos (com n par) diz:
Agora avaliamos f nos pontos t_{k}. Vou mostrar os cálculos intermediários (primeiro t^{4}, depois 1+9t^{4}, depois raiz e por fim multiplicação por 2).