Encontre a explicitamente
se
; determine também seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar explicitamente
onde
e determinar o domínio de
. As informações dadas são:
Portanto temos que construir
e descobrir para quais pares
essa função está bem definida.
Passo 2
Entendendo o que é composição:
significa que primeiro aplicamos
ao par
e, em seguida, aplicamos
ao resultado. Em notação,
Aqui a saída de
será a entrada de
.
Passo 3
Substituindo
dentro de
, obtemos
Isso já é uma forma explícita de
, mas dá para simplificar usando propriedades das exponenciais e do logaritmo.
Passo 4
Propriedade fundamental usada: para
e qualquer real
vale
Explicação passo a passo dessa identidade:
é o número cujo exponencial é
, isto é,
(isso exige
). Aplicando a lei dos expoentes
com
e
obtemos a igualdade acima. Assim podemos reescrever
de forma mais familiar:
desde que
.
Passo 5
Determinação do domínio: precisamos que todas as expressões intermediárias façam sentido.
- A função
exige que esteja definido, e isso ocorre exatamente quando . - Não há restrição sobre
: pode ser qualquer número real. - A função
está definida para todo , então não impõe restrição adicional além de garantir que seja real.
Portanto o domínio de
é
Passo 6
Observações e exemplos para fixar (didático e prático):
- Exemplo 1: para
,
- Exemplo 2: para
,
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula na prova: calculo
, depois
, ou diretamente uso
quando
.
Resposta
Domínio: