Encontre a explicitamente h(x, y) se h=f \circ g; determine também seu domínio.
f(t)=e^{t} ; \quad g(x, y)=y \ln x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar explicitamente h(x,y) onde h=f\circ g e determinar o domínio de h. As informações dadas são:
f(t)=e^{t},
g(x,y)=y\ln x.
Portanto temos que construir h(x,y)=f(g(x,y)) e descobrir para quais pares (x,y) essa função está bem definida.

Passo 2

Entendendo o que é composição: h=f\circ g significa que primeiro aplicamos g ao par (x,y) e, em seguida, aplicamos f ao resultado. Em notação,
h(x,y)=f\big(g(x,y)\big).
Aqui a saída de g será a entrada de f.

Passo 3

Substituindo g(x,y) dentro de f, obtemos
h(x,y)=e^{\,g(x,y)}=e^{\,y\ln x}.
Isso já é uma forma explícita de h, mas dá para simplificar usando propriedades das exponenciais e do logaritmo.

Passo 4

Propriedade fundamental usada: para x>0 e qualquer real y vale
e^{y\ln x}=\big(e^{\ln x}\big)^{y}=x^{y}.
Explicação passo a passo dessa identidade: \ln x é o número cujo exponencial é x, isto é, e^{\ln x}=x (isso exige x>0). Aplicando a lei dos expoentes e^{a b}=(e^{a})^{b} com a=\ln x e b=y obtemos a igualdade acima. Assim podemos reescrever h de forma mais familiar:
h(x,y)=x^{y},
desde que x>0.

Passo 5

Determinação do domínio: precisamos que todas as expressões intermediárias façam sentido.
  • A função g(x,y)=y\ln x exige que \ln x esteja definido, e isso ocorre exatamente quando x>0.
  • Não há restrição sobre y: y pode ser qualquer número real.
  • A função f(t)=e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}, então não impõe restrição adicional além de garantir que g(x,y) seja real.
Portanto o domínio de h é
D_h=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\; y\in\mathbb{R}\}=(0,\infty)\times\mathbb{R}.

Passo 6

Observações e exemplos para fixar (didático e prático):
  • Exemplo 1: para (x,y)=(2,3),
h(2,3)=e^{3\ln 2}=2^{3}=8.
  • Exemplo 2: para (x,y)=(4,\tfrac{1}{2}),
h(4,\tfrac{1}{2})=e^{\tfrac{1}{2}\ln 4}=4^{1/2}=2.
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula na prova: calculo g, depois f, ou diretamente uso x^{y} quando x>0.

Resposta

h(x,y)=e^{y\ln x}=x^{y} para x>0 e y\in\mathbb{R}.
Domínio: D_h=(0,\infty)\times\mathbb{R}.

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