Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, assuma a>0
\mathbf{R}(t)=\ln t \operatorname{sen} t \mathbf{i}+(t+1) \mathbf{j} ; \quad de t=\frac{1}{6} \pi a t=\frac{1}{2} \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{R}(t)=\ln t\;\operatorname{sen} t\;\mathbf{i}+(t+1)\;\mathbf{j}
no intervalo de parâmetro t=\frac{\pi}{6} até t=\frac{\pi}{2}. A pergunta é: determinar o comprimento do arco da curva quando t varia nesse intervalo.
Informações relevantes que chegaram do enunciado:
x(t)=\ln t\;\operatorname{sen} t,\qquad y(t)=t+1,\qquad t\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right].
Não há outras imagens ou dados. O que precisamos obter é o comprimento do arco entre esses dois valores de t.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula que usamos para comprimento de arco de uma curva parametrizada no plano. Se temos uma curva dada por
\mathbf{R}(t)=(x(t),y(t)),\quad t\in[a,b],
então o comprimento do arco L de t=a até t=b é
L=\int_a^b\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
O raciocínio por trás: dividimos o intervalo em pequenos pedaços \Delta t. Em cada pedaço o deslocamento é aproximadamente (x'(t)\Delta t,y'(t)\Delta t), cujo comprimento é \sqrt{(x'(t)\Delta t)^2+(y'(t)\Delta t)^2}=\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,\Delta t. Somando e passando ao limite obtém-se a integral acima. Nesta fórmula, x'(t) e y'(t) são as derivadas das componentes em relação a t.

Passo 3

Precisamos calcular as derivadas x'(t) e y'(t). Vou fazer isso passo a passo, explicando as regras usadas.
Temos x(t)=\ln t\;\operatorname{sen} t. Aqui é um produto de duas funções, então usamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
No nosso caso u(t)=\ln t e v(t)=\operatorname{sen} t.
  • Derivada de u(t)=\ln t é u'(t)=\dfrac{1}{t}. (Lembre: derivada do log natural.)
  • Derivada de v(t)=\operatorname{sen} t é v'(t)=\cos t.
Aplicando a regra do produto:
x'(t)=\frac{1}{t}\operatorname{sen} t+\ln t\cos t.
Para y(t)=t+1 a derivada é direta (derivada de t é 1, de constante é 0):
y'(t)=1.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula do comprimento:
L=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sqrt{\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}+\ln t\cos t\right)^2+1}\,dt.
Um pequeno comentário didático sobre manipulação algébrica: poderíamos expandir o quadrado dentro da raiz,
\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}+\ln t\cos t\right)^2 =\frac{\operatorname{sen}^2 t}{t^2}+\ln^2 t\cos^2 t+2\frac{\operatorname{sen} t}{t}\ln t\cos t,
e então somar 1, mas isso não produz uma primitiva elementar mais simples. Ou seja, a integral
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sqrt{1+\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}+\ln t\cos t\right)^2}\,dt
não possui (em geral) uma antiderivada expressável em funções elementares conhecidas; portanto o comprimento é usualmente deixado como uma integral definida ou calculado numericamente se for necessário um valor aproximado.

Passo 5

Resumo do procedimento para usar na prova (passos práticos rápidos, tipo “checklist”):
  1. Identifique x(t) e y(t).
  2. Calcule x'(t) e y'(t) (use regra do produto quando necessário; aqui x'(t)=\dfrac{\operatorname{sen} t}{t}+\ln t\cos t, y'(t)=1).
  3. Monte a integral L=\int_a^b\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt.
  4. Se a integral for intratável simbolicamente, deixe na forma de integral definida ou faça aproximação numérica (método da sua calculadora ou software).

Resposta

\displaystyle L=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sqrt{1+\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}+\ln t\cos t\right)^2}\,dt

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