Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer
, assuma
de
a
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
no intervalo de parâmetro
até
. A pergunta é: determinar o comprimento do arco da curva quando
varia nesse intervalo.
Informações relevantes que chegaram do enunciado:
Informações relevantes que chegaram do enunciado:
Não há outras imagens ou dados. O que precisamos obter é o comprimento do arco entre esses dois valores de
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula que usamos para comprimento de arco de uma curva parametrizada no plano. Se temos uma curva dada por
então o comprimento do arco
de
até
é
O raciocínio por trás: dividimos o intervalo em pequenos pedaços
. Em cada pedaço o deslocamento é aproximadamente
, cujo comprimento é
. Somando e passando ao limite obtém-se a integral acima. Nesta fórmula,
e
são as derivadas das componentes em relação a
.
Passo 3
Precisamos calcular as derivadas
e
. Vou fazer isso passo a passo, explicando as regras usadas.
Temos
. Aqui é um produto de duas funções, então usamos a regra do produto:
No nosso caso
e
.
- Derivada de
é . (Lembre: derivada do log natural.) - Derivada de
é .
Aplicando a regra do produto:
Para
a derivada é direta (derivada de
é
, de constante é
):
Passo 4
Agora substituímos na fórmula do comprimento:
Um pequeno comentário didático sobre manipulação algébrica: poderíamos expandir o quadrado dentro da raiz,
e então somar
, mas isso não produz uma primitiva elementar mais simples. Ou seja, a integral
não possui (em geral) uma antiderivada expressável em funções elementares conhecidas; portanto o comprimento é usualmente deixado como uma integral definida ou calculado numericamente se for necessário um valor aproximado.
Passo 5
Resumo do procedimento para usar na prova (passos práticos rápidos, tipo “checklist”):
- Identifique
e . - Calcule
e (use regra do produto quando necessário; aqui , ). - Monte a integral
. - Se a integral for intratável simbolicamente, deixe na forma de integral definida ou faça aproximação numérica (método da sua calculadora ou software).