Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para
- O domínio natural de
. - A função inversa
. - O domínio de
.
Lembrando que só faz sentido falar em função inversa quando
é bijetora. Vamos ver que
em
não é injetora (pois
), e então faremos uma restrição de domínio para obter injetividade.
Passo 2
Analisando
em todo
:
– Domínio natural:
– Domínio natural:
– Como
é par, não é injetora em
. Logo não existe inversa globalmente em
.
Porém, em
é estritamente crescente de
até
. Isso garante bijetividade de
Passo 3
Obtendo
na restrição
:
Seja com
. Então
Seja
como estamos na faixa
.
Portanto, a inversa é
Portanto, a inversa é
com domínio
Passo 4
Também poderíamos inverter na restrição
. Nesse caso
é estritamente decrescente, e novamente para
vem
Assim
com domínio igual a
Resposta
Domínio de
:
.
Não existe inversa global em pois
não é injetora.
Em :
Não existe inversa global em
Em
Em
: