Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f(x)=e^x^22

Passo 1

O enunciado pede três coisas para
f(x)=e^x^22:
  1. O domínio natural de f.
  2. A função inversa f^-1.
  3. O domínio de f^-1.
Lembrando que só faz sentido falar em função inversa quando f é bijetora. Vamos ver que f em R não é injetora (pois f(x)=f(-x)), e então faremos uma restrição de domínio para obter injetividade.

Passo 2

Analisando f em todo R:
– Domínio natural:
Dom(f)=(-infty,infty)
– Como f(x)=e^x^2/2 é par, não é injetora em R. Logo não existe inversa globalmente em R.
Porém, em [0,infty) f é estritamente crescente de f(0)=1 até limxtoinftyf(x)=infty. Isso garante bijetividade de
fcolon[0,infty)to[1,infty)

Passo 3

Obtendo f^-1 na restrição x>=0:
Seja y=f(x)=e^x^2/2 com yin[1,infty). Então
ln y = x^22 Longrightarrow x = raiz2ln y,
como estamos na faixa x>=0.
Portanto, a inversa é
f^-1(y)=raiz2ln y,
com domínio
Dom(f^-1)=[1,infty)

Passo 4

Também poderíamos inverter na restrição x<=0. Nesse caso fcolon(-infty,0]to[1,infty) é estritamente decrescente, e novamente para
y=e^x^2/2
vem
x=-raiz2ln y
Assim
f^-1(y)=-raiz2ln y,
com domínio igual a
Dom(f^-1)=[1,infty)

Resposta

Domínio de f: (-infty,infty).
Não existe inversa global em R pois f não é injetora.
Em [0,infty):
f^-1(y)=raiz2ln y, Dom(f^-1)=[1,infty)
Em (-infty,0]:
f^-1(y)=-raiz2ln y, Dom(f^-1)=[1,infty)

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