Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá
e pede (i) o domínio de
, (ii) a função inversa e (iii) o domínio da inversa. Vamos usar:
– Para o domínio de , exigir que o argumento do log seja positivo.
– Observar que não é bijetora em todo o domínio, pois é par, e portanto devemos restringir a um ramo monotônico.
– Para achar a inversa, resolver em função de
.
– Para o domínio de
– Observar que
– Para achar a inversa, resolver
Passo 2
Determinar o domínio de
exigindo
Isso implica
Logo
Passo 3
Como
é par em todo o domínio, não é injetora em
. Para definir inversa, restringimos a um dos dois intervalos onde
é monotônica:
– Ramo à direita: .
– Ramo à esquerda: .
– Ramo à direita:
– Ramo à esquerda:
Passo 4
Em qualquer ramo, partimos de
Logo
Em cada ramo a escolha do sinal fica:
– Para :
.
– Para :
.
– Para
– Para
Passo 5
Como
varia em
quando
ou
,
varia em
. Portanto o domínio de cada inversa é todo
.
Resposta
Domínio de
:
Para o ramo
:
Para o ramo
: