Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f(x)=log 3(x^2-1)

Passo 1

O enunciado dá f(x)=log3l(x^2-1r) e pede (i) o domínio de f, (ii) a função inversa e (iii) o domínio da inversa. Vamos usar:
– Para o domínio de f, exigir que o argumento do log seja positivo.
– Observar que f não é bijetora em todo o domínio, pois é par, e portanto devemos restringir a um ramo monotônico.
– Para achar a inversa, resolver y=log3(x^2-1) em função de x.

Passo 2

Determinar o domínio de f exigindo
x^2-1>0
Isso implica
x^2>1 Longrightarrow x<-1ou x>1
Logo
D(f)=(-infty,-1),cup,(1,infty)

Passo 3

Como f é par em todo o domínio, não é injetora em (-infty,-1)cup(1,infty). Para definir inversa, restringimos a um dos dois intervalos onde f é monotônica:
– Ramo à direita: x>1.
– Ramo à esquerda: x<-1.

Passo 4

Em qualquer ramo, partimos de
y=log3l(x^2-1r) Longrightarrow 3^y=x^2-1 Longrightarrow x^2=3^y+1
Logo
x=pmraiz3^y+1
Em cada ramo a escolha do sinal fica:
– Para x>1: x=+raiz3^y+1.
– Para x<-1: x=-raiz3^y+1.

Passo 5

Como x^2-1 varia em (0,infty) quando xto1^+ ou xtoinfty, f(x) varia em (-infty,infty). Portanto o domínio de cada inversa é todo R.

Resposta

Domínio de f:
D(f)=(-infty,-1),cup,(1,infty)
Para o ramo x>1:
f^-1(y)=raiz3^y+1, Dl(f^-1r)=R
Para o ramo x<-1:
f^-1(y)=-raiz3^y+1, Dl(f^-1r)=R

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