Calcule g circ f e f circ g em cada um dos seguintes casos:
f(x)=ln ((x-2)^2x+1), g(x)=e^-x+1

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=ln!l(tfrac(x-2)^2x+1r) e g(x)=e^-x+1,
e pede as composições gcirc f e fcirc g. Vamos usar a definição de composta:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) e (fcirc g)(x)=fl(g(x)r).

Passo 2

Para achar gcirc f, aplicamos g sobre f(x):
(gcirc f)(x) = gl(f(x)r) = e^-,f(x)+1

Passo 3

Substituindo f(x)=ln!l(tfrac(x-2)^2x+1r) em e^-f(x)+1 e usando
e^-,ln A=A^-1, temos
(gcirc f)(x) = e^1,expl(-lntfrac(x-2)^2x+1r) = e;x+1(x-2)^2

Passo 4

Para achar fcirc g, aplicamos f sobre g(x):
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = ln!l(l(g(x)-2r)^2,g(x)+1r)

Passo 5

Substituindo g(x)=e^-x+1 dentro do logaritmo, obtemos
(fcirc g)(x) = ln!l(l(e^-x+1-2r)^2e^-x+1+1r)

Resposta

(gcirc f)(x)=e,x+1(x-2)^2
(fcirc g)(x)=ln!l(l(e^-x+1-2r)^2e^-x+1+1r)

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