Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f(x)=ln (7raiz2 x-1+3)

Passo 1

O enunciado pede para f(x)=lnl(tfrac7raiz2x-1+3r) três coisas: o domínio de f, a inversa f^-1 e o domínio de f^-1. Vamos usar domínio de raiz quadrada e logaritmo, além de resolver uma equação exponencial para obter f^-1.

Passo 2

Para haver raiz2x-1 real precisamos de
2x-1 >= 0
isto é, x >= tfrac12. Mas em x=tfrac12 temos raiz2x-1=0 e daí tfrac70 seria indefinido. Logo precisamos de
x > tfrac12
Além disso o argumento do logaritmo deve ser positivo:
7raiz2x-1 + 3 > 0,
o que é sempre verdade para x>tfrac12 (o primeiro termo é positivo e soma-se 3). Portanto
Domínio(f) = l(tfrac12,inftyr) í

Passo 3

Para achar f^-1 escrevemos y = lnl(tfrac7raiz2x-1+3r). Elevando e aos dois lados:
e^y = 7raiz2x-1 + 3 Longrightarrow 7raiz2x-1 = e^y - 3 Longrightarrow raiz2x-1 = 7e^y - 3
Elevando ao quadrado:
2x-1 = 49(e^y-3)^2 Longrightarrow x = 12 + 492,(e^y-3)^2 = 1 + tfrac49(e^y-3)^22
Portanto
f^-1(y) = 1 + dfrac49(e^y - 3)^22

Passo 4

Para f^-1(y) fazer sentido, precisamos de denominador não nulo e de raiz2x-1 positiva, o que impõe
e^y - 3 > 0 Long<=ftrightarrow y > ln 3
Assim o domínio de f^-1 é
Domínio(f^-1) = l(ln 3,inftyr) í

Resposta

Domínio de f: l(tfrac12,inftyr)
f^-1(y) = 1 + tfrac49(e^y - 3)^22
Domínio de f^-1: l(ln 3,inftyr)

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