Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f(x)=log 10(raizx+1)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função
f(x)=log10l(raizx+1r)
O conteúdo envolve domínio de funções que usam raiz quadrada e logaritmo, inversão de função e determinação do domínio da inversa.

Passo 2

Para achar o domínio de f, o argumento do logaritmo deve ser positivo:
raizx+1>0
Como raizx+1>=0 só zera em x=-1, precisamos de
x+1>0Longrightarrow x>-1
Logo o domínio de f é
(-1,infty)

Passo 3

Para encontrar f^-1, escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y=log10l(raizx+1r) Longrightarrow y=tfrac12log10(x+1) Longrightarrow 2y=log10(x+1)
Elevando base 10:
10^2y=x+1 Longrightarrow x=10^2y-1
Portanto
f^-1(y)=10^2y-1

Passo 4

O domínio de f^-1 é a imagem de f. Como raizx+1 varre (0,infty) quando xin(-1,infty), o logaritmo base 10 em (0,infty) varre todo R. Assim o domínio de f^-1 é
(-infty,infty)

Resposta

Domínio de f: (-1,infty)
f^-1(y)=10^2y-1
Domínio de f^-1: (-infty,infty)

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