(Reis e Silva - adaptada) Sejam u e v vetores de direções diferentes e A um ponto do espaço. Sejam r1 e r2 as retas que contêm A e são, respectivamente, paralelas a u e v. Se alpha é o plano definido por r1 e r2, então mostre que:
a) Um ponto P pertence a alpha se, e somente se, existem números s e t tais que A P= s u+t v.
b) O vetor u times v é perpendicular ao plano alpha.

Passo 1

O enunciado dá um ponto A e dois vetores não colineares vec u e vec v. As retas r1 e r2 passam por A e são paralelas a vec u e a vec v, e o plano alpha é o plano determinado por essas duas retas. Precisamos mostrar duas coisas:
a) Um ponto P está em alpha sse AP pode ser escrito como combinação linear de vec u e vec v.
b) O vetor vec utimesvec v é perpendicular a qualquer vetor do plano alpha.

Passo 2

Pela geometria vetorial, o plano alpha determinado por A,vec u,vec v é exatamente o conjunto
alpha = l,A + s,vec u + t,vec v mid s,tinRr
Logo, um ponto P pertence a alpha sse existe (s,t) tais que
P ;=; A + s,vec u + t,vec v Long<=ftrightarrow AP ;=; s,vec u + t,vec v
Isso prova a parte (a).

Passo 3

Para mostrar que vec utimesvec v é perpendicular a alpha, basta ver que é ortogonal a qualquer vetor que fique no plano. Se vec w é um vetor de alpha, então vec w = s,vec u + t,vec v para certos s,t. Daí,
(vec utimesvec v);cdot;vec w = (vec utimesvec v);cdot;(s,vec u + t,vec v) = s,(vec utimesvec v)cdotvec u + t,(vec utimesvec v)cdotvec v = 0+0 =0
Como o produto escalar é zero, vec utimesvec v é perpendicular a todo vetor do plano alpha, e portanto é perpendicular a alpha. Isso prova a parte (b).

Resposta

(a) Pinalphaiff exists,s,tinR tais que AP=s,vec u + t,vec v.\
(b) vec utimesvec v é perpendicular ao plano alpha.

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