Determine o domínio, a função inversa e o domínio da inversa de cada uma das seguintes funções:
f(x)=2^raiz1x-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 2^raiz1x-1
e pede:
– O domínio de f.
– A função inversa f^-1.
– O domínio de f^-1.
Para resolver vamos analisar a expressão dentro da raiz para achar o domínio, depois inverter a relação y=f(x) para obter x em função de y e por fim determinar o domínio dessa inversa.

Passo 2

Para existir raiztfrac1x-1 precisamos de
1x-1 >= 0
e também x-1 neq 0. A inequação tfrac1x-1>=0 só vale quando x-1>0, ou seja
x>1
Logo o domínio de f é
Dom(f) = (1,infty)

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y = 2^raiz1x-1 com y>0. Aplicamos logaritmo de base 2:
log2y = raiz1x-1
Elevando ao quadrado:
(log2y)^2 = 1x-1 Longrightarrow x-1 = 1(log2y)^2 Longrightarrow x = 1 + 1(log2y)^2
Portanto a inversa é
f^-1(y) = 1 + 1(log2y)^2

Passo 4

A fórmula de f^-1(y) só faz sentido quando log2yneq0, isto é yneq1, e também precisamos de y>0 já que veio de uma potência de base 2. Além disso, pela forma de f, y nunca atinge 1, pois quando xtoinfty temos raiztfrac1x-1to0 e 2^0=1 é limite, não valor. E quando xto1^+ a função cresce sem limite. Logo
Dom(f^-1) = (1,infty)

Resposta

Domínio de f: (1,infty)
Função inversa: f^-1(y)=1+1(log2y)^2
Domínio de f^-1: (1,infty)

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