Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede que se determine o domínio da função
Informações dadas:
- A função depende de duas variáveis reais
e . - O argumento do logaritmo natural é a expressão
. - É necessário encontrar todos os pares
para os quais está definida.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): quando aparece o logaritmo natural
com
real, ele está definido apenas para valores de
estritamente positivos. Em símbolos:
Exemplos para fixar:
-
(ok, pois ). -
é indefinido (não pode). -
é indefinido no conjunto dos números reais (não pode).
Portanto, para que
exista, o argumento
deve ser
.
Passo 3
Aplicar a condição de existência do logaritmo ao argumento da função. Escrever a desigualdade:
Agora isolar
para deixar a condição em termos de
:
Esta é a condição necessária e suficiente sobre
(para cada
) para que o logaritmo exista.
Passo 4
Interpretação e exemplos (para entender bem e usar rápido na prova):
- Geometricamente, a fronteira dada por
é uma parábola voltada para baixo. O domínio é a região do plano estritamente acima dessa parábola (a parábola em si não pertence ao domínio porque lá e não existe). - Para qualquer valor de
, o valor de deve pertencer ao intervalo aberto . - Exemplos rápidos:
- O ponto
satisfaz , logo está definida (e vale ). - O ponto
não satisfaz, pois ; então é indefinida. - O ponto
satisfaz , logo está no domínio.
- O ponto