Determine o domínio da função
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y-1\right) .

Passo 1

O enunciado pede que se determine o domínio da função
f(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}+y-1\bigr).
Informações dadas:
  • A função depende de duas variáveis reais x e y.
  • O argumento do logaritmo natural é a expressão x^{2}+y-1.
  • É necessário encontrar todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) está definida.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): quando aparece o logaritmo natural \ln(t) com t real, ele está definido apenas para valores de t estritamente positivos. Em símbolos:
\ln(t)\\ \text{está definida} \quad\Longleftrightarrow\quad t>0.á
Exemplos para fixar:
  • \ln(1)=0 (ok, pois 1>0).
  • \ln(0) é indefinido (não pode).
  • \ln(-2) é indefinido no conjunto dos números reais (não pode).
Portanto, para que f(x,y) exista, o argumento x^{2}+y-1 deve ser >0.

Passo 3

Aplicar a condição de existência do logaritmo ao argumento da função. Escrever a desigualdade:
x^{2}+y-1>0.
Agora isolar y para deixar a condição em termos de y:
x^{2}+y-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y>1-x^{2}.
Esta é a condição necessária e suficiente sobre y (para cada x) para que o logaritmo exista.

Passo 4

Interpretação e exemplos (para entender bem e usar rápido na prova):
  • Geometricamente, a fronteira dada por y=1-x^{2} é uma parábola voltada para baixo. O domínio é a região do plano estritamente acima dessa parábola (a parábola em si não pertence ao domínio porque lá x^{2}+y-1=0 e \ln(0) não existe).
  • Para qualquer valor de x\in\mathbb{R}, o valor de y deve pertencer ao intervalo aberto (1-x^{2},\infty).
  • Exemplos rápidos:
    • O ponto (0,2) satisfaz 2>1-0^{2}=1, logo f(0,2)=\ln(1) está definida (e vale 0).
    • O ponto (0,0) não satisfaz, pois 0\not>1; então f(0,0) é indefinida.
    • O ponto (1,1) satisfaz 1>1-1^{2}=0, logo está no domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>1-x^{2}\}

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