Determine as curvas de nível de
f(x, y)=e^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as curvas de nível da função
f(x,y)=e^{x-y}.
Ou seja:
  • Qual é a equação que descreve o conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y) tem um valor fixo c?
  • Quais valores de c são possíveis?
    Listei as informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x-y}.
  • Não há restrição explícita no domínio, portanto (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição útil (aula rápida): uma curva de nível associada a um número real c é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
Na prática, para cada c fixo resolvemos a equação f(x,y)=c e vemos qual é a curva resultante.

Passo 3

Usar a definição com f. Fixando um valor c, a equação da curva de nível é
e^{x-y}=c.
Agora, para resolver essa equação usamos a função logarítmica natural \ln, que é a inversa da exponencial. A operação válida aqui é aplicar \ln em ambos os lados; lembrando que \ln só está definida para argumentos positivos, então isso já indica uma restrição em c. Aplicando \ln obtemos
\ln\bigl(e^{x-y}\bigr)=\ln c.

Passo 4

Usar a propriedade \ln(e^{u})=u. Assim a equação simplifica para
x-y=\ln c.
Rearranjando para isolar y,
y = x - \ln c.

Passo 5

Interpretação geométrica: para cada constante c>0 a equação \;y = x - \ln c\; é a reta de coeficiente angular 1 (ou seja, inclinação 1) e intercepto no eixo y igual a -\ln c. Logo as curvas de nível formam uma família de retas paralelas, todas com inclinação 1, deslocadas verticalmente de acordo com -\ln c.

Passo 6

Sobre os valores possíveis de c: como e^{x-y}>0 para todo (x,y), a imagem de f é (0,\infty). Portanto só existem curvas de nível para constantes c>0. Para c\le 0 não há pontos (x,y) tais que e^{x-y}=c.

Passo 7

Exemplos concretos rápidos (ajuda na prova):
  • Se c=1 então \ln c=0 e a curva é \;y=x\;.
  • Se c=e então \ln c=1 e a curva é \;y=x-1\;.
  • Se c=e^{-2} então \ln c=-2 e a curva é \;y=x+2\;.

Passo 8

Comentário útil sobre regularidade (opcional para a prova): o gradiente de f é
\nabla f=(f_x,f_y)=(e^{x-y},-e^{x-y})=e^{x-y}(1,-1),
que é nunca nulo. Isso confirma que as curvas de nível são curvas regulares e que o vetor normal a elas é paralelo a (1,-1), consistente com a equação x-y=\text{constante}.

Resposta

As curvas de nível são, para cada c>0,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x-y=\ln c\},
ou, equivalentemente,
y=x-\ln c.

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