Determine as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado pede para determinar as curvas de nível da função
Ou seja:
- Qual é a equação que descreve o conjunto de pontos
onde tem um valor fixo ? - Quais valores de
são possíveis?
Listei as informações dadas: - A função é
. - Não há restrição explícita no domínio, portanto
.
Passo 2
Definição útil (aula rápida): uma curva de nível associada a um número real
é o conjunto
Na prática, para cada
fixo resolvemos a equação
e vemos qual é a curva resultante.
Passo 3
Usar a definição com
. Fixando um valor
, a equação da curva de nível é
Agora, para resolver essa equação usamos a função logarítmica natural
, que é a inversa da exponencial. A operação válida aqui é aplicar
em ambos os lados; lembrando que
só está definida para argumentos positivos, então isso já indica uma restrição em
. Aplicando
obtemos
Passo 4
Usar a propriedade
. Assim a equação simplifica para
Rearranjando para isolar
,
Passo 5
Interpretação geométrica: para cada constante
a equação
é a reta de coeficiente angular
(ou seja, inclinação
) e intercepto no eixo
igual a
. Logo as curvas de nível formam uma família de retas paralelas, todas com inclinação
, deslocadas verticalmente de acordo com
.
Passo 6
Sobre os valores possíveis de
: como
para todo
, a imagem de
é
. Portanto só existem curvas de nível para constantes
. Para
não há pontos
tais que
.
Passo 7
Exemplos concretos rápidos (ajuda na prova):
- Se
então e a curva é . - Se
então e a curva é . - Se
então e a curva é .
Passo 8
Comentário útil sobre regularidade (opcional para a prova): o gradiente de
é
que é nunca nulo. Isso confirma que as curvas de nível são curvas regulares e que o vetor normal a elas é paralelo a
, consistente com a equação
.
Resposta
As curvas de nível são, para cada
,
ou, equivalentemente,