Determine o domínio das função real de uma variável f dada por:
f(x)=\frac{2 x+1}{x^{2}-9}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o domínio da função real de uma variável f dada por
f(x)=\frac{2x+1}{x^{2}-9}.
  • Informação relevante: a função é uma razão (fração) de dois polinômios — numerador 2x+1 e denominador x^{2}-9.
  • Pergunta clara: quais valores reais de x podem ser usados na expressão sem torná-la inválida?

Passo 2

Regra geral importante (explicação didática):
  • Para qualquer expressão da forma \dfrac{\text{algo}}{\text{denominador}}, a única restrição típica ao domínio vem de não poder dividir por zero.
  • Portanto, para determinar o domínio, devemos exigir que o denominador seja diferente de zero:
x^{2}-9 \neq 0.
  • Raciocínio por que: divisão por zero não está definida nos números reais, então qualquer x que faça o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio.

Passo 3

Resolver a condição x^{2}-9 \neq 0 passo a passo:
  • Primeiro resolvemos a equação associada x^{2}-9=0 para encontrar os pontos proibidos (já que esses serão exatamente os valores que devemos excluir).
  • Observação: x^{2}-9 é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada. A diferença de quadrados obedece à fórmula
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aplicando com a=x e b=3:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Encontrar as raízes da equação x^{2}-9=0:
  • Como (x-3)(x+3)=0, pelo princípio do produto nulo temos:
x-3=0 \quad\text{ou}\quad x+3=0.
  • Assim as soluções são
x=3 \quad\text{e}\quad x=-3.
  • Conclusão intermediária: os valores x=3 e x=-3 tornam o denominador zero, então devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Verificar se alguma dessas raízes cancela com o numerador (caso de buraco removível):
  • Calcula-se o numerador nos pontos problemáticos para ver se há cancelamento:
2\cdot 3 + 1 = 7 \neq 0, \qquad 2\cdot(-3)+1 = -6+1 = -5 \neq 0.
  • Como o numerador não é zero em x=3 nem em x=-3, não há cancelamento; esses pontos são de fato proibidos (singularidades da função), não buracos removíveis.

Passo 6

Conclusão sobre o domínio (explicação de como escrever):
  • O domínio é o conjunto de todos os números reais exceto os que fazem o denominador zero.
  • Em notação de conjunto: \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}.
  • Em notação de intervalos:
(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)

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