Determine o domínio das função real de uma variável
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o domínio da função real de uma variável
dada por
- Informação relevante: a função é uma razão (fração) de dois polinômios — numerador
e denominador . - Pergunta clara: quais valores reais de
podem ser usados na expressão sem torná-la inválida?
Passo 2
Regra geral importante (explicação didática):
- Para qualquer expressão da forma
, a única restrição típica ao domínio vem de não poder dividir por zero. - Portanto, para determinar o domínio, devemos exigir que o denominador seja diferente de zero:
- Raciocínio por que: divisão por zero não está definida nos números reais, então qualquer
que faça o denominador igual a zero deve ser excluído do domínio.
Passo 3
Resolver a condição
passo a passo:
- Primeiro resolvemos a equação associada
para encontrar os pontos proibidos (já que esses serão exatamente os valores que devemos excluir). - Observação:
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada. A diferença de quadrados obedece à fórmula
- Aplicando com
e :
Passo 4
Encontrar as raízes da equação
:
- Como
, pelo princípio do produto nulo temos:
- Assim as soluções são
- Conclusão intermediária: os valores
e tornam o denominador zero, então devem ser excluídos do domínio.
Passo 5
Verificar se alguma dessas raízes cancela com o numerador (caso de buraco removível):
- Calcula-se o numerador nos pontos problemáticos para ver se há cancelamento:
- Como o numerador não é zero em
nem em , não há cancelamento; esses pontos são de fato proibidos (singularidades da função), não buracos removíveis.
Passo 6
Conclusão sobre o domínio (explicação de como escrever):
- O domínio é o conjunto de todos os números reais exceto os que fazem o denominador zero.
- Em notação de conjunto:
. - Em notação de intervalos: