Determine o domínio das função real de uma variável f dada por:
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4 x+3}}

Passo 1

O enunciado pede determinar o domínio da função real de uma variável
f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é a fração \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+3}.
  • Para f(x) ser real, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
  • Além disso, o denominador da fração não pode ser zero (caso contrário a fração não está definida).
    As perguntas que devemos responder: quais valores de x satisfazem simultaneamente (i) \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+3}\ge 0 e (ii) x^{2}-4x+3\neq 0.

Passo 2

Explicando as condições matemáticas que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
  • Condição 1 (radicando não-negativo): Para a raiz quadrada produzir um número real precisamos de
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+3}\ge 0.
Isto significa que a fração pode ser positiva ou zero.
  • Condição 2 (denominador não-nulo): A fração não está definida quando o denominador é zero, logo
x^{2}-4x+3\neq 0.
Essas duas condições juntas definem o domínio.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador para trabalhar melhor com sinais.
  • Numerador: x^{2}-4 é diferença de quadrados, então
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • Denominador: x^{2}-4x+3 é um quadrático que fatoramos procurando raízes; ele se factoriza como
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto a expressão dentro da raiz fica
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+3}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-3)}.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), que particionam a reta real e determinam mudanças de sinal:
  • Zeros do numerador (onde a fração pode ser zero): x=-2 e x=2.
  • Zeros do denominador (onde a fração é indefinida): x=1 e x=3.
Esses quatro pontos em ordem crescente: -2,\;1,\;2,\;3. Vamos estudar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos e verificar inclusão/exclusão dos pontos finais.

Passo 5

Método do quadro de sinais (explicação do método): para uma fração fatorada \dfrac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}, o sinal em cada intervalo entre os pontos críticos é obtido verificando o sinal de cada fator ali. Zeros do numerador tornam a fração igual a zero (permitidos, pois \sqrt{0}=0), zeros do denominador tornam a fração indefinida (esses pontos devem ser excluídos do domínio). Vou analisar o sinal fator a fator em cada intervalo.
Considere os intervalos (-\infty,-2),\\ {-2},\\ (-2,1),\\ (1,2),\\ {2},\\ (2,3),\\ (3,\infty). Em cada intervalo verifique o sinal de cada fator:
Fatores: x+2,\\ x-2,\\ x-1,\\ x-3.
  • Para x<-2 (intervalo (-\infty,-2)):
    • x+2<0, x-2<0, x-1<0, x-3<0.
    • Produto do numerador: (x-2)(x+2) = (neg)(neg) = positivo.
    • Produto do denominador: (x-1)(x-3) = (neg)(neg) = positivo.
    • Fração: positivo/positivo = positivo. Portanto a fração é \ge 0 nessa região (estritamente >0). Todos esses x são candidatos.
  • Em x=-2:
    • Numerador zero, denominador ( -2-1)(-2-3)=(-3)(-5)=15\neq0.
    • Fração = 0, o que é permitido (radicando 0). Portanto x=-2 pertence ao domínio.
  • Para -2<x<1 (intervalo (-2,1)):
    • x+2>0, x-2<0, x-1<0, x-3<0.
    • Numerador: (pos)(neg)=negativo.
    • Denominador: (neg)(neg)=positivo.
    • Fração: negativo/positivo = negativo. Então a fração é <0 e não pode ficar dentro da raiz. Esses x são excluídos.
  • Em x=1:
    • Denominador zero (fator (x-1)=0), a fração é indefinida. Assim x=1 é excluído do domínio.
  • Para 1<x<2 (intervalo (1,2)):
    • x+2>0, x-2<0, x-1>0, x-3<0.
    • Numerador: (pos)(neg)=negativo.
    • Denominador: (pos)(neg)=negativo.
    • Fração: negativo/negativo = positivo. Então a fração é >0 e esses x são permitidos.
  • Em x=2:
    • Numerador zero, denominador (2-1)(2-3)=(1)(-1)=-1\neq0.
    • Fração = 0, permitido. Logo x=2 pertence ao domínio.
  • Para 2<x<3 (intervalo (2,3)):
    • x+2>0, x-2>0, x-1>0, x-3<0.
    • Numerador: (pos)(pos)=positivo.
    • Denominador: (pos)(neg)=negativo.
    • Fração: positivo/negativo = negativo. Excluído.
  • Em x=3:
    • Denominador zero (fator (x-3)=0), fração indefinida. x=3 excluído.
  • Para x>3 (intervalo (3,\infty)):
    • Todos os quatro fatores são positivos.
    • Numerador positivo, denominador positivo, fração positiva. Esses x são permitidos.
Resumo do resultado da análise de sinais:
  • Fração \ge 0 em (-\infty,-2], em (1,2] e em (3,\infty) (com exclusão de 1 e 3 porque aí o denominador é zero).
  • Fração < 0 em (-2,1) e em (2,3), portanto esses intervalos são excluídos.

Passo 6

Concluindo quais pontos incluem-se no domínio:
  • Incluem-se todos os x em (-\infty,-2] (porque a fração é positiva ali e x=-2 dá radicando zero).
  • Não se inclui nenhum ponto de (-2,1).
  • Não se inclui x=1 (denominador zero).
  • Inclui-se (1,2] (a partir de 1 excluído até 2 incluído).
  • Não se inclui (2,3).
  • Não se inclui x=3 (denominador zero).
  • Inclui-se (3,\infty).
Portanto o domínio é a união desses intervalos bons.

Resposta

(-\infty,-2]\cup(1,2]\cup(3,\infty)

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