Determine o domínio das função real de uma variável
dada por:
Passo 1
O enunciado pede determinar o domínio da função real de uma variável
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz é a fração
. - Para
ser real, a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero. - Além disso, o denominador da fração não pode ser zero (caso contrário a fração não está definida).
As perguntas que devemos responder: quais valores desatisfazem simultaneamente (i) e (ii) .
Passo 2
Explicando as condições matemáticas que vamos usar (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
- Condição 1 (radicando não-negativo): Para a raiz quadrada produzir um número real precisamos de
Isto significa que a fração pode ser positiva ou zero.
- Condição 2 (denominador não-nulo): A fração não está definida quando o denominador é zero, logo
Essas duas condições juntas definem o domínio.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador para trabalhar melhor com sinais.
- Numerador:
é diferença de quadrados, então
- Denominador:
é um quadrático que fatoramos procurando raízes; ele se factoriza como
Portanto a expressão dentro da raiz fica
Passo 4
Identificamos os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), que particionam a reta real e determinam mudanças de sinal:
- Zeros do numerador (onde a fração pode ser zero):
e . - Zeros do denominador (onde a fração é indefinida):
e .
Esses quatro pontos em ordem crescente:
. Vamos estudar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos e verificar inclusão/exclusão dos pontos finais.
Passo 5
Método do quadro de sinais (explicação do método): para uma fração fatorada
, o sinal em cada intervalo entre os pontos críticos é obtido verificando o sinal de cada fator ali. Zeros do numerador tornam a fração igual a zero (permitidos, pois
), zeros do denominador tornam a fração indefinida (esses pontos devem ser excluídos do domínio). Vou analisar o sinal fator a fator em cada intervalo.
Considere os intervalos
. Em cada intervalo verifique o sinal de cada fator:
Fatores:
.
-
Para
(intervalo ): -
, , , . - Produto do numerador:
= (neg)(neg) = positivo. - Produto do denominador:
= (neg)(neg) = positivo. - Fração: positivo/positivo = positivo. Portanto a fração é
nessa região (estritamente >0). Todos esses são candidatos.
-
-
Em
: - Numerador zero, denominador
. - Fração = 0, o que é permitido (radicando 0). Portanto
pertence ao domínio.
- Numerador zero, denominador
-
Para
(intervalo ): -
, , , . - Numerador: (pos)(neg)=negativo.
- Denominador: (neg)(neg)=positivo.
- Fração: negativo/positivo = negativo. Então a fração é <0 e não pode ficar dentro da raiz. Esses
são excluídos.
-
-
Em
: - Denominador zero (fator
), a fração é indefinida. Assim é excluído do domínio.
- Denominador zero (fator
-
Para
(intervalo ): -
, , , . - Numerador: (pos)(neg)=negativo.
- Denominador: (pos)(neg)=negativo.
- Fração: negativo/negativo = positivo. Então a fração é >0 e esses
são permitidos.
-
-
Em
: - Numerador zero, denominador
. - Fração = 0, permitido. Logo
pertence ao domínio.
- Numerador zero, denominador
-
Para
(intervalo ): -
, , , . - Numerador: (pos)(pos)=positivo.
- Denominador: (pos)(neg)=negativo.
- Fração: positivo/negativo = negativo. Excluído.
-
-
Em
: - Denominador zero (fator
), fração indefinida. excluído.
- Denominador zero (fator
-
Para
(intervalo ): - Todos os quatro fatores são positivos.
- Numerador positivo, denominador positivo, fração positiva. Esses
são permitidos.
Resumo do resultado da análise de sinais:
- Fração
em , em e em (com exclusão de e porque aí o denominador é zero). - Fração < 0 em
e em , portanto esses intervalos são excluídos.
Passo 6
Concluindo quais pontos incluem-se no domínio:
- Incluem-se todos os
em (porque a fração é positiva ali e dá radicando zero). - Não se inclui nenhum ponto de
. - Não se inclui
(denominador zero). - Inclui-se
(a partir de 1 excluído até 2 incluído). - Não se inclui
. - Não se inclui
(denominador zero). - Inclui-se
.
Portanto o domínio é a união desses intervalos bons.