Determinar:
\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{y \rightarrow +\infty} \frac{(y+1)^{2}}{y^{2}+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável é y.
  • A aproximação é quando y \to +\infty.
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador (y+1)^2 e denominador y^2+1.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o numerador para ver os termos explícitos. Temos
(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1.
Portanto a fração fica
\frac{(y+1)^2}{y^2+1} = \frac{y^2 + 2y + 1}{y^2 + 1}.

Passo 3

Para analisar o comportamento quando y \to +\infty é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de y presente, que aqui é y^2. Fazendo isso obtemos
\frac{y^2 + 2y + 1}{y^2 + 1} = \frac{\dfrac{y^2}{y^2} + \dfrac{2y}{y^2} + \dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{y^2}{y^2} + \dfrac{1}{y^2}} = \frac{1 + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{y^2}}{1 + \dfrac{1}{y^2}}.

Passo 4

Agora usamos limites simples sobre as parcelas que envolvem y. Sabemos (e posso justificar rapidamente) que
\lim_{y\to +\infty} \frac{1}{y} = 0.
Justificativa rápida: dado \varepsilon>0, escolher N=\frac{1}{\varepsilon} implica que, para y>N, tem-se \frac{1}{y}<\varepsilon, logo \frac{1}{y}\to 0. Pelo mesmo raciocínio \frac{1}{y^2}\to 0 (a queda é ainda mais rápida). Assim
\lim_{y\to +\infty} \frac{2}{y} = 0,\qquad \lim_{y\to +\infty} \frac{1}{y^2} = 0.

Passo 5

Aplicando a propriedade de limites (limite da razão quando o limite do denominador é diferente de zero), obtemos
\lim_{y\to +\infty} \frac{1 + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{y^2}}{1 + \dfrac{1}{y^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 6

Interpretação alternativa (regra prática para provas): quando se tem uma razão de polinômios e y \to \pm\infty,
  • se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau;
  • se o grau do numerador é menor, o limite é 0;
  • se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty (dependendo dos sinais).
    Aqui ambos têm grau 2 e os coeficientes líderes são 1 (no numerador) e 1 (no denominador), então o limite é 1. Exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{2x^2-5}=\dfrac{3}{2}.

Resposta

1

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