Determinar:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável é
. - A aproximação é quando
. - A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador .
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir o numerador para ver os termos explícitos. Temos
Portanto a fração fica
Passo 3
Para analisar o comportamento quando
é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, que aqui é
. Fazendo isso obtemos
Passo 4
Agora usamos limites simples sobre as parcelas que envolvem
. Sabemos (e posso justificar rapidamente) que
Justificativa rápida: dado
, escolher
implica que, para
, tem-se
, logo
. Pelo mesmo raciocínio
(a queda é ainda mais rápida). Assim
Passo 5
Aplicando a propriedade de limites (limite da razão quando o limite do denominador é diferente de zero), obtemos
Passo 6
Interpretação alternativa (regra prática para provas): quando se tem uma razão de polinômios e
,
- se os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau;
- se o grau do numerador é menor, o limite é
; - se o grau do numerador é maior, o limite é
(dependendo dos sinais).
Aqui ambos têm graue os coeficientes líderes são (no numerador) e (no denominador), então o limite é . Exemplo rápido: .