Determinar:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{5 x^{2}-5 x+6}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende para +\infty da expressão
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x.
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x.
  • O ponto onde queremos o comportamento é x\to+\infty.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x\right)?

Passo 2

Primeira manipulação algébrica útil: eliminar a diferença entre uma raiz e x usando o conjugado (multiplicar numerador e denominador por \sqrt{5x^{2}-5x+6}+x). Assim,
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x = \frac{\big(\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x\big)\big(\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x\big)}{\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x}.
No numerador temos a diferença de quadrados; portanto
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x = \frac{(5x^{2}-5x+6)-x^{2}}{\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x} = \frac{4x^{2}-5x+6}{\sqrt{5x^{2}-5x+6}+x}.

Passo 3

Para estudar o comportamento quando x\to+\infty, é conveniente dividir numerador e denominador por x (ou por x dentro da raiz). Faço a divisão por x escrevendo:
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x = x\cdot\frac{4-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}{\sqrt{5-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}+1}.
Aqui foi fatorado x^{2} dentro da raiz e extraído x comum fora da fração; todos os passos são apenas álgebra elementar.

Passo 4

Agora uso limites das partes que ficam dependentes de x. À medida que x\to+\infty temos
4-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}\longrightarrow 4, \qquad \sqrt{5-\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^{2}}}+1\longrightarrow \sqrt{5}+1.
Portanto a fração tende para
\frac{4}{\sqrt{5}+1}.
Um pouco de álgebra mostra que esse quociente vale exatamente \sqrt{5}-1, porque
\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{5-1}=\sqrt{5}-1.
Assim, para x grande a expressão tem o comportamento aproximado
\sqrt{5x^{2}-5x+6}-x \sim x(\sqrt{5}-1).
Como \sqrt{5}-1>0, o fator x que cresce sem limite faz o produto divergir para +\infty.

Passo 5

Conclusão baseada nos passos anteriores: a expressão cresce linearmente com x (constante positiva multiplicando x), logo o limite quando x\to+\infty é +\infty.

Resposta

+\infty

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