Determinar:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende para
da expressão
Informações relevantes dadas:
- A função considerada é
. - O ponto onde queremos o comportamento é
.
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Primeira manipulação algébrica útil: eliminar a diferença entre uma raiz e
usando o conjugado (multiplicar numerador e denominador por
). Assim,
No numerador temos a diferença de quadrados; portanto
Passo 3
Para estudar o comportamento quando
, é conveniente dividir numerador e denominador por
(ou por
dentro da raiz). Faço a divisão por
escrevendo:
Aqui foi fatorado
dentro da raiz e extraído
comum fora da fração; todos os passos são apenas álgebra elementar.
Passo 4
Agora uso limites das partes que ficam dependentes de
. À medida que
temos
Portanto a fração tende para
Um pouco de álgebra mostra que esse quociente vale exatamente
, porque
Assim, para
grande a expressão tem o comportamento aproximado
Como
, o fator
que cresce sem limite faz o produto divergir para
.
Passo 5
Conclusão baseada nos passos anteriores: a expressão cresce linearmente com
(constante positiva multiplicando
), logo o limite quando
é
.