Determinar:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A expressão dentro do limite é
.
O que se quer: determinar o valor desse limite (pode ser um número finito,ou ).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar
dentro da raiz cúbica para deixar a dependência em
explícita. Observe que
Como a raiz cúbica é multiplicativa para números reais, temos
Passo 3
Justificando a simplificação de
: para
(e estamos levando
) vale
, portanto a raiz cúbica real satisfaz
Assim podemos escrever, para
,
Passo 4
Substituindo essa expressão de volta no limite, obtemos
Fatorando
,
Passo 5
Agora analisamos o comportamento do fator entre parênteses quando
. Como
e a função
é contínua em
, segue que
Portanto
Passo 6
Com isso, para
a expressão se comporta como
multiplicado por algo que tende a
. Ou seja, aproximadamente vale
para
grande. Como
,
. Logo o limite diverge para
.