Determinar:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt[3]{1-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt[3]{1-x^{3}}\right).
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão dentro do limite é x-\sqrt[3]{1-x^{3}}.
    O que se quer: determinar o valor desse limite (pode ser um número finito, +\infty ou -\infty).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar x^{3} dentro da raiz cúbica para deixar a dependência em x explícita. Observe que
1-x^{3}=-x^{3}\left(1-\frac{1}{x^{3}}\right).
Como a raiz cúbica é multiplicativa para números reais, temos
\sqrt[3]{1-x^{3}}=\sqrt[3]{-x^{3}\left(1-\frac{1}{x^{3}}\right)}=\sqrt[3]{-x^{3}}\;\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^{3}}}.

Passo 3

Justificando a simplificação de \sqrt[3]{-x^{3}}: para x\ge 0 (e estamos levando x\to+\infty) vale (-x)^{3}=-x^{3}, portanto a raiz cúbica real satisfaz
\sqrt[3]{-x^{3}}=-x.
Assim podemos escrever, para x>0,
\sqrt[3]{1-x^{3}}=-x\;\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Substituindo essa expressão de volta no limite, obtemos
x-\sqrt[3]{1-x^{3}}=x- \bigl(-x\sqrt[3]{1-\tfrac{1}{x^{3}}}\bigr)=x+x\sqrt[3]{1-\tfrac{1}{x^{3}}}.
Fatorando x,
x-\sqrt[3]{1-x^{3}}=x\left(1+\sqrt[3]{1-\tfrac{1}{x^{3}}}\right).

Passo 5

Agora analisamos o comportamento do fator entre parênteses quando x\to\infty. Como \tfrac{1}{x^{3}}\to 0 e a função t\mapsto\sqrt[3]{t} é contínua em t=1, segue que
\sqrt[3]{1-\tfrac{1}{x^{3}}}\longrightarrow \sqrt[3]{1}=1.
Portanto
1+\sqrt[3]{1-\tfrac{1}{x^{3}}}\longrightarrow 1+1=2.

Passo 6

Com isso, para x\to\infty a expressão se comporta como x multiplicado por algo que tende a 2. Ou seja, aproximadamente vale 2x para x grande. Como x\to\infty, 2x\to\infty. Logo o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados