Resolva a edo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que está assim:
com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 2 $.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa EDO, que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 1 $.
Calculando o discriminante:
Como
, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com uma raiz dupla $ r = -1 $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da EDO:
Observamos que o lado direito tem duas partes: $ t e^{t} $ e $ 2 $. Precisamos achar uma solução particular para cada uma delas e depois somar.
Passo 6
Primeiro, para a parte $ t e^{t} $:
Assumimos uma solução da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas. Substituímos $ y_{p1}(t) $ na equação original e resolvemos para $ A $ e $ B $.
Passo 7
Calculando as derivadas de $ y_{p1}(t) $:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Combina termos semelhantes:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Para os termos com $ t e^{t} $:
Para os termos constantes:
Passo 9
Então, a solução particular para $ t e^{t} $ é:
Passo 10
Agora, para a parte constante $ 2 $:
Assumimos uma solução particular constante:
Onde $ K $ é uma constante a ser determinada. Substituindo na EDO:
Passo 11
A solução particular completa é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Passo 12
Portanto, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Simplificando:
Passo 14
Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
Derivando:
Simplificando:
Aplicando $ t = 0 $:
Passo 15
Com $ C_1 = \frac{1}{8} $ e $ C_2 = 2 $, a solução final é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: