Resolva a edo y^prime prime+2 y^prime+y=t e^wed>= t+2 com y(0)=2 é y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que está assim:
y'' + 2 y' + y = t e^t + 2
com as condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 2 $.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa EDO, que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2 y' + y = 0
Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação homogênea:
y = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt + 2 r e^rt + e^rt = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 2 r + 1 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 1 $.
Calculando o discriminante:
a = 1
Como b = 2 , temos uma raiz dupla:
c = 1

Passo 4

Com uma raiz dupla $ r = -1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = -1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da EDO:
y'' + 2 y' + y = t e^t + 2
Observamos que o lado direito tem duas partes: $ t e^{t} $ e $ 2 $. Precisamos achar uma solução particular para cada uma delas e depois somar.

Passo 6

Primeiro, para a parte $ t e^{t} $:
Assumimos uma solução da forma:
t e^t
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas. Substituímos $ y_{p1}(t) $ na equação original e resolvemos para $ A $ e $ B $.

Passo 7

Calculando as derivadas de $ y_{p1}(t) $:
yp1(t)
yp1'(t) = e^t (A t + B) + e^t A = e^t (A t + B + A)
Substituindo na EDO:
yp1''(t) = e^t (A t + B + A) + e^t (A) = e^t (A t + B + 2A)
Simplificando:
e^t (A t + B + 2A) + 2 e^t (A t + B + A) + e^t (A t + B) = t e^t + 2
Combina termos semelhantes:
e^t [A t + B + 2A + 2A t + 2B + 2A + A t + B] = t e^t + 2
e^t [(A + 2A + A) t + (B + 2B + B + 2A)] = t e^t + 2

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Para os termos com $ t e^{t} $:
t e^t
Para os termos constantes:
4A = 1 implies A = 14

Passo 9

Então, a solução particular para $ t e^{t} $ é:
t e^t

Passo 10

Agora, para a parte constante $ 2 $:
Assumimos uma solução particular constante:
2
Onde $ K $ é uma constante a ser determinada. Substituindo na EDO:
yp2(t) = K

Passo 11

A solução particular completa é a soma das duas soluções particulares encontradas:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = e^t ( 14 t - 18 ) + 2

Passo 12

Portanto, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-t + e^t ( 14 t - 18 ) + 2

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Simplificando:
C2

Passo 14

Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
y(t)
Derivando:
y'(t)
Simplificando:
y(t) = ( 18 + C2 t ) e^-t + e^t ( 14 t - 18 ) + 2
y'(t) = ( C2 e^-t - ( 18 + C2 t ) e^-t ) + e^t ( 14 t - 18 ) + e^t ( 14 )
Aplicando $ t = 0 $:
y'(t) = ( -18 e^-t + C2 e^-t - C2 t e^-t ) + e^t ( 14 t - 18 + 14 )

Passo 15

Com $ C_1 = \frac{1}{8} $ e $ C_2 = 2 $, a solução final é:
C1 = 18

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = ( 18 + 2 t ) e^-t + e^t ( 14 t - 18 ) + 2

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