Determine o domínio da função vetorial r(t)=lang<= t, ln (3-t), raiztrang<=.
Escolha uma opção:
R
(0, infty)
[0, infty)
(-2, infty)
Nenhuma das demais alternativas
[0,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função vetorial r(t) = lang<= t, ln (3 - t), raizt rang<=. Isso significa descobrir todos os valores de t que fazem cada parte dessa função existir direitinho. Para isso, vamos usar alguns conhecimentos básicos de funções matemáticas, como logaritmos e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada componente da função vetorial separadamente:
  1. Componente t: Essa é apenas uma função linear simples. Não tem restrições, ou seja, vale para qualquer número real t in R.
  2. Componente ln(3 - t): Aqui temos um logaritmo natural. Para o logaritmo estar definido, o que está dentro dele precisa ser maior que zero. Então, 3 - t > 0. Vamos resolver essa desigualdade:
    3 - t > 0 implies t < 3
    Ou seja, t tem que ser menor que 3.
  3. Componente raizt: Essa é uma raiz quadrada. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então, t >= 0.

Passo 3

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
  • t < 3
  • t >= 0
Para que todas as partes da função estejam válidas ao mesmo tempo, precisamos que t satisfaça ambas as condições. Ou seja, t tem que ser entre 0 e 3.

Resposta

O domínio da função é [0,3).

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