Resolva os seguintes sistemas:
l d xd t=y d yd t=6 x-y e com x(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem
dxdt=y, dydt=6x - y,
com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2. Esse é um sistema linear com coeficientes constantes; vamos usar a forma matricial e buscar autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial:
$$
\frac{d}{dt} ddtxy = underbrace0 & 16 & -1A xy

\underbrace{ }_{A}
.
$$

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) =det-lambda & 16 & -1-lambda =lambda(lambda+1)-6 =lambda^2+lambda-6=0
As raízes são lambda1=2 e lambda2=-3.

Passo 4

Para lambda1=2, resolvemos (A-2I)v=0:
-2 & 16 & -3xy=0 implies y=2x
Escolhemos o autovetor v1=12.
Para lambda2=-3, resolvemos (A+3I)v=0:
3 & 16 & 2xy=0 implies y=-3x
Escolhemos v2=1-3.

Passo 5

A solução geral do sistema é
x(t)y(t) =C1 e^2t12 + C2 e^-3t1-3

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
C1 + C2 = 1, 2C1 -3C2 = 2
Da primeira equação C1=1 - C2. Substituindo na segunda:
2(1 - C2)-3C2=2 implies 2 -2C2 -3C2=2 implies -5C2=0 implies C2=0,
logo C1=1.

Resposta

x(t)=e^2t, y(t)=2e^2t

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