Determine o valor da integral iterada
, onde
, com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
, onde a região
está entre
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
constante. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
A primeira integral é
. Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar ele de fora da integral:
Integrando
em relação a
:
Passo 5
Agora, a segunda integral é
. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
.
Mudando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Agora, a integral fica:
Integrando
:
Passo 6
Juntando as duas partes que integramos:
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Passo 7
Vamos separar novamente essa integral:
A primeira integral é simples:
Passo 8
A segunda integral,
, é conhecida como Integral de Seno e não tem uma solução em termos de funções elementares. Para obter um valor numérico, precisamos usar métodos de aproximação ou consultar tabelas de integrais.
Usando uma aproximação:
Passo 9
Finalmente, somamos os dois resultados que obtivemos:
Resposta
O valor da integral iterada é aproximadamente 1,196.