Determine o valor da integral iterada integralegral duplaR(x y+cos (x y)) d y d x, onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1, com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaR(x y+cos (x y)) , dy , dx, onde a região R está entre 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função x y + cos(x y) em relação a y, mantendo x constante. Ou seja, vamos calcular:
integral0^1 (x y + cos(x y)) , dy

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 x y , dy + integral0^1 cos(x y) , dy

Passo 4

A primeira integral é integral0^1 x y , dy. Como x é uma constante em relação a y, podemos tirar ele de fora da integral:
x integral0^1 y , dy
Integrando y em relação a y:
x [ y^22 ]0^1 = x ( 12 - 0 ) = x2

Passo 5

Agora, a segunda integral é integral0^1 cos(x y) , dy. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = x y, então du = x , dy ou dy = dux.
Mudando os limites de integração:
  • Quando y = 0, u = 0
  • Quando y = 1, u = x
Agora, a integral fica:
integral0^x cos(u) cdot dux = 1x integral0^x cos(u) , du
Integrando cos(u):
1x [ sin(u) ]0^x = 1x (sin(x) - 0) = sin(x)x

Passo 6

Juntando as duas partes que integramos:
x2 + sin(x)x
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x2 + sin(x)x ) , dx

Passo 7

Vamos separar novamente essa integral:
integral0^1 x2 , dx + integral0^1 sin(x)x , dx
A primeira integral é simples:
12 integral0^1 x , dx = 12 [ x^22 ]0^1 = 12 ( 12 - 0 ) = 14

Passo 8

A segunda integral, integral0^1 sin(x)x , dx, é conhecida como Integral de Seno e não tem uma solução em termos de funções elementares. Para obter um valor numérico, precisamos usar métodos de aproximação ou consultar tabelas de integrais.
Usando uma aproximação:
integral0^1 sin(x)x , dx approx 0,946083

Passo 9

Finalmente, somamos os dois resultados que obtivemos:
14 + 0,946083 approx 1,196083

Resposta

O valor da integral iterada é aproximadamente 1,196.

Exercícios relacionados