Determine o domínio da função vetorial:
Passo 1
Beleza! A gente tem que descobrir o domínio da função vetorial
. Isso significa encontrar todos os valores de
que fazem com que cada componente da função esteja bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a parte
. A raiz quadrada só existe para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Ou seja,
tem que ser menor ou igual a 4.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte:
. A função exponencial é definida para todos os números reais, então não temos restrição aqui. Qualquer valor de
serve para essa parte.
Passo 4
Por último, temos
. O logaritmo natural só está definido para números maiores que zero. Então, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Ou seja,
tem que ser maior que -1.
Passo 5
Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
- De
: - De
:
A função toda está definida quando ambas as condições são satisfeitas ao mesmo tempo.
Resposta
O domínio da função vetorial é todos os números reais
tais que
. Em notação de intervalo: