Determine o domínio da função vetorial:
r(t)=(raiz4-t, e^-3 t, ln (t+1))

Passo 1

Beleza! A gente tem que descobrir o domínio da função vetorial r(t) = (raiz4-t, e^-3 t, ln (t+1)). Isso significa encontrar todos os valores de t que fazem com que cada componente da função esteja bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a parte raiz4-t. A raiz quadrada só existe para números maiores ou iguais a zero. Então, precisamos que:
4 - t >= 0
Resolvendo essa desigualdade:
t <= 4
Ou seja, t tem que ser menor ou igual a 4.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: e^-3 t. A função exponencial é definida para todos os números reais, então não temos restrição aqui. Qualquer valor de t serve para essa parte.

Passo 4

Por último, temos ln(t+1). O logaritmo natural só está definido para números maiores que zero. Então, precisamos que:
t + 1 > 0
Resolvendo essa desigualdade:
t > -1
Ou seja, t tem que ser maior que -1.

Passo 5

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
  • De raiz4-t: t <= 4
  • De ln(t+1): t > -1
A função toda está definida quando ambas as condições são satisfeitas ao mesmo tempo.

Resposta

O domínio da função vetorial é todos os números reais t tais que -1 < t <= 4. Em notação de intervalo:
(-1, 4]

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