Dada a funçāo
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de $ f(x, y) = x^{2} y + \sin(x y) $ em relação a $ y $. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma das suas variáveis, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos derivar cada termo da função em relação a $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo $ x^{2} y $. Ao derivar em relação a $ y $, tratamos $ x^{2} $ como uma constante (porque estamos derivando em relação a $ y $). A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1. Então:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo termo, $ \sin(x y) $. Para derivar isso em relação a $ y $, usamos a regra da cadeia. Primeiro, identificamos a função externa, que é o seno, e a função interna, que é $ x y $. A derivada do seno é o cosseno, e a derivada de $ x y $ em relação a $ y $ é $ x $. Então:
Resposta
Somando as derivadas dos dois termos, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é: