- Questão 33. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias
minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
a) Em que instante a colônia deixa de existir?
b) Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante
com
.
c) Esboce o gráfico de
.
b) Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante
c) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a população (em milhares) de bactérias em função do tempo como
precisamos: achar quando a população zera, mostrar que f é contínua e usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir f(t)=10 em algum ponto de (1,7), e por fim esboçar o gráfico de f.
Passo 2
Para achar quando a colônia deixa de existir, basta resolver f(t)=0. No trecho relevante para zero a população decai, isto é, para t\ge5:
Resolvendo, temos t=9 minutos. Portanto, em t=9 a população atinge zero.
Passo 3
Para mostrar continuidade em t=5, calculamos os limites laterais e o valor:
e f(5) (pela definição do segundo ramo) também vale 32. Como limites laterais e valor coincidem, f é contínua em t=5 e portanto em todo [0,\infty).
Passo 4
Para garantir que f(t)=10 para algum t\in(1,7), aplicamos o Teorema do Valor Intermediário. Note que
e
Como f é contínua em [1,7] e 10 está entre f(1) e f(7), existe c em (1,7) com f©=10.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de f:
- De 0 a 5, desenhe a parábola t\mapsto t^2+7, partindo de (0,7) até (5,32).
- De 5 em diante, desenhe o segmento de reta decrescente -8t+72, partindo de (5,32), passando por (9,0) e continuando linear.
Passo 6
No esboço, marque claramente o ponto de transição em t=5 e o ponto de extinção em (9,0).
Resposta
a) A colônia zera em t=9 minutos. b) f é contínua pois em t=5
, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe t em (1,7) com f(t)=10. c) O gráfico é uma parábola de 0 a 5 que vai de (0,7) a (5,32) e a partir de 5 uma reta decrescente que passa por (5,32) e chega a (9,0).