• Questão 33. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t)= t^2+7 & para 0 <= t<5 -8 t+72 & para t >= 5
a) Em que instante a colônia deixa de existir?
b) Mostre que esta função é contínua e explique por que a população deve ser 10.000 em algum instante t com 1.
c) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a população (em milhares) de bactérias em função do tempo como
f(t)= t^2+7 & se 0<= t<5,-8t+72 & se t>=5,
precisamos: achar quando a população zera, mostrar que f é contínua e usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir f(t)=10 em algum ponto de (1,7), e por fim esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Para achar quando a colônia deixa de existir, basta resolver f(t)=0. No trecho relevante para zero a população decai, isto é, para t\ge5:
-8t+72=0
Resolvendo, temos t=9 minutos. Portanto, em t=9 a população atinge zero.

Passo 3

Para mostrar continuidade em t=5, calculamos os limites laterais e o valor:
limtto5^-f(t)=5^2+7=32,
limtto5^+f(t)=-8cdot5+72=32,
e f(5) (pela definição do segundo ramo) também vale 32. Como limites laterais e valor coincidem, f é contínua em t=5 e portanto em todo [0,\infty).

Passo 4

Para garantir que f(t)=10 para algum t\in(1,7), aplicamos o Teorema do Valor Intermediário. Note que
f(1)=1^2+7=8<10
e
f(7)=-8cdot7+72=16>10
Como f é contínua em [1,7] e 10 está entre f(1) e f(7), existe c em (1,7) com f©=10.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f:
  • De 0 a 5, desenhe a parábola t\mapsto t^2+7, partindo de (0,7) até (5,32).
  • De 5 em diante, desenhe o segmento de reta decrescente -8t+72, partindo de (5,32), passando por (9,0) e continuando linear.

Passo 6

No esboço, marque claramente o ponto de transição em t=5 e o ponto de extinção em (9,0).

Resposta

a) A colônia zera em t=9 minutos. b) f é contínua pois em t=5 limtto5^-f=limtto5^+f=f(5)=32, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe t em (1,7) com f(t)=10. c) O gráfico é uma parábola de 0 a 5 que vai de (0,7) a (5,32) e a partir de 5 uma reta decrescente que passa por (5,32) e chega a (9,0).

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