Determine o domínio da função
w=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real
w=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou implica):
  • As variáveis x e y são números reais e a função deve ser definida como número real.
  • A função contém uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-y^{2}}: para que essa raiz seja um número real é necessário que o radicando x^{2}-y^{2} seja maior ou igual a zero.
  • A raiz aparece no denominador: portanto não pode ser zero (divisão por zero é proibida).
  • O numerador x y não impõe restrição (pode ser qualquer real).

Passo 2

Traduzindo as restrições listadas em desigualdades:
  • Para que a raiz seja real devemos ter
x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • Para que não haja divisão por zero precisamos excluir os pontos onde a raiz vale zero, ou seja exigir
\sqrt{x^{2}-y^{2}}\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2}\neq 0.
Juntando as duas condições obtemos a condição única necessária e suficiente para o domínio:
x^{2}-y^{2}>0.

Passo 3

Agora vamos resolver a desigualdade
x^{2}-y^{2}>0.
Fatorando o lado esquerdo temos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
então precisamos de
(x-y)(x+y)>0.
Um produto de dois números é positivo quando os dois são positivos ou os dois são negativos. Vamos analisar esses dois casos.

Passo 4

Caso 1: ambos positivos.
x-y>0\quad\text{e}\quad x+y>0.
A primeira dá x>y e a segunda dá x>-y. Juntando as duas obtemos
x>\max\{y,-y\}=|y|,
isto é
x>|y|.
Caso 2: ambos negativos.
x-y<0\quad\text{e}\quad x+y<0.
A primeira dá x<y e a segunda dá x<-y. Juntando as duas obtemos
x<\min\{y,-y\}=-|y|,
isto é
x<-|y|.
Portanto a solução da desigualdade é a união dos dois casos:
x>|y|\quad\text{ou}\quad x<-|y|.

Passo 5

Uma forma mais compacta e imediata de ver a desigualdade é notar que x^{2}-y^{2}>0 é equivalente a
x^{2}>y^{2},
e como ambos lados são não-negativos, isso equivale a
|x|>|y|.

Passo 6

Exemplos para fixar a ideia:
  • (x,y)=(2,1): x^{2}-y^{2}=4-1=3>0, então (2,1) pertence ao domínio e w(2,1)=\dfrac{2\cdot1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
  • (x,y)=(1,1): x^{2}-y^{2}=0, está proibido (divisão por zero).
  • (x,y)=(1,2): x^{2}-y^{2}=1-4=-3<0, a raiz não é real, então está fora do domínio.
Interpretação geométrica rápida: o domínio é a região do plano formada por dois “cones” abertos ao longo do eixo x, isto é, todos os pontos cuja abscissa tem módulo maior que o módulo da ordenada.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid |x|>|y|\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x>|y|\}\cup\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x<-|y|\}

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