Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real
Informações relevantes que o enunciado dá (ou implica):
- As variáveis
e são números reais e a função deve ser definida como número real. - A função contém uma raiz quadrada
: para que essa raiz seja um número real é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero. - A raiz aparece no denominador: portanto não pode ser zero (divisão por zero é proibida).
- O numerador
não impõe restrição (pode ser qualquer real).
Passo 2
Traduzindo as restrições listadas em desigualdades:
- Para que a raiz seja real devemos ter
- Para que não haja divisão por zero precisamos excluir os pontos onde a raiz vale zero, ou seja exigir
Juntando as duas condições obtemos a condição única necessária e suficiente para o domínio:
Passo 3
Agora vamos resolver a desigualdade
Fatorando o lado esquerdo temos
então precisamos de
Um produto de dois números é positivo quando os dois são positivos ou os dois são negativos. Vamos analisar esses dois casos.
Passo 4
Caso 1: ambos positivos.
A primeira dá
e a segunda dá
. Juntando as duas obtemos
isto é
Caso 2: ambos negativos.
A primeira dá
e a segunda dá
. Juntando as duas obtemos
isto é
Portanto a solução da desigualdade é a união dos dois casos:
Passo 5
Uma forma mais compacta e imediata de ver a desigualdade é notar que
é equivalente a
e como ambos lados são não-negativos, isso equivale a
Passo 6
Exemplos para fixar a ideia:
-
: , então pertence ao domínio e . -
: , está proibido (divisão por zero). -
: , a raiz não é real, então está fora do domínio.
Interpretação geométrica rápida: o domínio é a região do plano formada por dois “cones” abertos ao longo do eixo
, isto é, todos os pontos cuja abscissa tem módulo maior que o módulo da ordenada.