Nos itens abaixo admita que a in R, com a>0, n in N, e verifique as seguintes identidades:
(f) L(e^a t cos b t)=s-a(s-a)^2+b^2, com s>0

Passo 1

O enunciado pede verificar a identidade da transformada de Laplace de e^{a t} cos(b t). O conteúdo envolvido é a definição da transformada de Laplace e a aplicação da propriedade de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Começamos aplicando a definição
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t),dt
com f(t)=e^{a t}\cos(b t).

Passo 3

Dentro do integrando, juntamos os expoentes:
e^-s t,e^a t=e^-(s-a)t
ficando
integral0^infty e^-(s-a)tcos(b t),dt .

Passo 4

Reconhecemos a integral do tipo
integral0^infty e^-p tcos(q t),dt = pp^2+q^2,
válida para Re(p)>0. Aqui usamos p = s - a e q = b.

Resposta

dfracs - a(s - a)^2 + b^2, válido para s > a.

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