Determine o domínio das funções

Passo 1

A função é f(x)=log_{3+x}(x^2-1), que é um logaritmo com base variável. Para logaritmos, precisamos garantir que o argumento seja positivo e que a base seja positiva e diferente de 1.

Passo 2

O argumento é x^2-1, então exigimos
x^2 - 1 > 0
Isso dá
x < -1 ou x > 1

Passo 3

A base é 3+x, então exigimos
3 + x > 0 e 3 + x neq 1
Ou seja,
x > -3 e x neq -2

Passo 4

Agora intersectamos as duas condições:
Para x < -1 precisamos também x > -3 e excluir x = -2, o que fica
-3 < x < -1 com x neq -2
Para x > 1 não há outras restrições além de x > 1.

Passo 5

Portanto, o domínio de f é a união dos intervalos
(-3,-2)cup(-2,-1)cup(1,infty)

Resposta

(-3,-2) ∪ (-2,-1) ∪ (1,∞)

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