Determine o domínio das funções abaixo.
f(x)=\ln \left(-x^{2}+2 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\ln\!\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr).
Informações fornecidas:
  • A função é um logaritmo natural de uma expressão quadrática, -x^{2}+2x+3.
  • Precisa-se encontrar todos os valores de x para os quais a função está bem definida (domínio).

Passo 2

Regra básica sobre \ln: a função \ln(t) está definida somente para argumentos positivos, isto é, para valores de t tais que
t>0.
Aqui o argumento é t=-x^{2}+2x+3. Portanto a condição para x estar no domínio é
-x^{2}+2x+3>0.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade quadrática
-x^{2}+2x+3>0.
É conveniente transformar para uma forma padrão (com coeficiente do termo quadrático positivo). Multiplicando ambos os lados por -1 e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade, obtemos
x^{2}-2x-3<0.

Passo 4

Encontrar as raízes da equação associada x^{2}-2x-3=0. Calcula-se o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16.
As raízes são
x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}.
Portanto as raízes são
x_{1}=-1,\qquad x_{2}=3.

Passo 5

Agora fazemos a análise de sinal do polinômio x^{2}-2x-3. Como o coeficiente de x^{2} é +1>0, a parábola abre para cima. Isso significa que x^{2}-2x-3 é negativo entre as raízes e positivo fora delas. Em símbolos:
x^{2}-2x-3<0 \quad\text{se, e somente se,}\quad -1<x<3.
Voltando à desigualdade original (antes de multiplicar por -1), isso corresponde exatamente aos x que tornam -x^{2}+2x+3>0.

Passo 6

Concluímos que o argumento do \ln é positivo exatamente para x no intervalo aberto (-1,3). Portanto o domínio da função é esse intervalo.

Resposta

(-1,3)

Exercícios relacionados