Determine o domínio das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
Informações fornecidas:
- A função é um logaritmo natural de uma expressão quadrática,
. - Precisa-se encontrar todos os valores de
para os quais a função está bem definida (domínio).
Passo 2
Regra básica sobre
: a função
está definida somente para argumentos positivos, isto é, para valores de
tais que
Aqui o argumento é
. Portanto a condição para
estar no domínio é
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade quadrática
É conveniente transformar para uma forma padrão (com coeficiente do termo quadrático positivo). Multiplicando ambos os lados por
e lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade, obtemos
Passo 4
Encontrar as raízes da equação associada
. Calcula-se o discriminante:
As raízes são
Portanto as raízes são
Passo 5
Agora fazemos a análise de sinal do polinômio
. Como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima. Isso significa que
é negativo entre as raízes e positivo fora delas. Em símbolos:
Voltando à desigualdade original (antes de multiplicar por
), isso corresponde exatamente aos
que tornam
.
Passo 6
Concluímos que o argumento do
é positivo exatamente para
no intervalo aberto
. Portanto o domínio da função é esse intervalo.