Determine o domínio das funções abaixo.
f(x)=\log \left(15-4 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\log\left(15-4x^{2}\right) e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é a aplicação \log do número real 15-4x^{2}.
  • O que precisamos encontrar é o conjunto de x para os quais a expressão dentro do log é válida (isto é, o domínio).

Passo 2

Condição básica sobre logaritmo (aula rápida e importante): para a função logarítmica real \log(t) estar definida, o argumento t precisa ser estritamente positivo. Ou seja,
t>0.
Exemplos curtos para fixar: \log(2) existe porque 2>0; \log(0) não existe; \log(-1) não existe no conjunto dos números reais.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso problema: o argumento do log é 15-4x^{2}. Logo devemos ter
15-4x^{2}>0.
Agora vamos resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 4

Isolando x^{2}: primeiro podemos passar o termo -4x^{2} para o outro lado ou simplesmente reorganizar:
-4x^{2}>-15.
Ao dividir por -4 — note que estamos dividindo por um número negativo — a desigualdade inverte o sentido:
x^{2}<\frac{15}{4}.
Explicando a próxima transformação: a desigualdade x^{2}<a^{2} (com a>0) é equivalente a |x|<a. Portanto aqui temos
|x|<\sqrt{\frac{15}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.

Passo 5

Converter a desigualdade com valor absoluto em intervalo: a condição |x|<\dfrac{\sqrt{15}}{2} equivale a
-\frac{\sqrt{15}}{2}<x<\frac{\sqrt{15}}{2}.
Observação importante: os extremos não podem ser incluídos porque em x=\pm\frac{\sqrt{15}}{2} o argumento do log seria zero ( 15-4x^{2}=0), e \log(0) não está definido em \mathbb{R}.

Resposta

\left(-\dfrac{\sqrt{15}}{2},\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)

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