Determine o domínio das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
.
Informações importantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
Informações importantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
- A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é
. - Para a raiz quadrada de índice par estar definida em números reais, o radicando precisa ser maior ou igual a zero:
. - Como há uma divisão, o denominador não pode ser zero:
.
Passo 2
Escrevemos formalmente as condições que
deve satisfazer:
e
Passo 3
Vamos analisar a desigualdade racional
.
Fatoramos numerador e denominador (já estão fatorados): os sinais mudam nos pontos onde cada fator é zero:
Fatoramos numerador e denominador (já estão fatorados): os sinais mudam nos pontos onde cada fator é zero:
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos:
,
e
. Em cada intervalo o sinal da razão é constante. Lembre-se também que
deve ser excluído por anular o denominador.
Passo 4
Agora testamos o sinal da expressão em cada intervalo escolhendo um ponto de teste simples em cada um (metodinho clássico do “testa um ponto” — rápido e seguro):
- Para o intervalo
escolha . Calculamos
Portanto em
a fração é positiva e atende
.
- Para o intervalo
escolha . Calculamos
Portanto em
a fração é negativa e não atende
.
- Para o intervalo
escolha . Calculamos
Portanto em
a fração é positiva e atende
.
Passo 5
Agora tratamos os pontos críticos isoladamente:
- Em
temos . A raiz de é , então é permitido (radicando igual a zero é OK). - Em
o denominador anula a fração, logo é proibido.
Juntando tudo: os
que satisfazem
e
são todos os
em
e em
.