Determine o domínio das funções abaixo:
r(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função r(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}.
Informações importantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • A expressão dentro da raiz quadrada (o radicando) é \dfrac{x-1}{x+1}.
  • Para a raiz quadrada de índice par estar definida em números reais, o radicando precisa ser maior ou igual a zero: \dfrac{x-1}{x+1}\ge 0.
  • Como há uma divisão, o denominador não pode ser zero: x+1\neq 0.

Passo 2

Escrevemos formalmente as condições que x deve satisfazer:
\frac{x-1}{x+1}\ge 0
e
x+1\neq 0.

Passo 3

Vamos analisar a desigualdade racional \dfrac{x-1}{x+1}\ge 0.
Fatoramos numerador e denominador (já estão fatorados): os sinais mudam nos pontos onde cada fator é zero:
x-1=0 \implies x=1,
x+1=0 \implies x=-1.
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty). Em cada intervalo o sinal da razão é constante. Lembre-se também que x=-1 deve ser excluído por anular o denominador.

Passo 4

Agora testamos o sinal da expressão em cada intervalo escolhendo um ponto de teste simples em cada um (metodinho clássico do “testa um ponto” — rápido e seguro):
  • Para o intervalo (-\infty,-1) escolha x=-2. Calculamos
\frac{-2-1}{-2+1}=\frac{-3}{-1}=3>0.
Portanto em (-\infty,-1) a fração é positiva e atende \ge 0.
  • Para o intervalo (-1,1) escolha x=0. Calculamos
\frac{0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1<0.
Portanto em (-1,1) a fração é negativa e não atende \ge 0.
  • Para o intervalo (1,\infty) escolha x=2. Calculamos
\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}>0.
Portanto em (1,\infty) a fração é positiva e atende \ge 0.

Passo 5

Agora tratamos os pontos críticos isoladamente:
  • Em x=1 temos \dfrac{1-1}{1+1}=0. A raiz de 0 é 0, então x=1 é permitido (radicando igual a zero é OK).
  • Em x=-1 o denominador anula a fração, logo x=-1 é proibido.
Juntando tudo: os x que satisfazem \dfrac{x-1}{x+1}\ge 0 e x\neq -1 são todos os x em (-\infty,-1) e em [1,\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup[1,\infty)

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