Determine o domínio das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para determinar o domínio da função:
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
essa função está bem definida, ou seja, onde todas as expressões dentro das raízes quadradas são válidas e o denominador não é zero. Vamos precisar usar conceitos de funções e radicais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função:
.
Para uma raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela (chamado de radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Resolvendo essa inequação:
Isso nos diz que
precisa ser pelo menos
para que a raiz no numerador exista.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador:
.
Primeiro, igualamos o radicando a zero para encontrar os pontos críticos:
Essa é uma equação quadrática que podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Queremos que o radicando seja maior que zero (não apenas maior ou igual) porque está no denominador e a expressão não pode ser zero. Então, analisamos os intervalos:
-
Para
: - Testando
:
- Testando
-
Para
: - Testando
:
- Testando
-
Para
: - Testando
:
- Testando
Portanto, o denominador é positivo quando:
Passo 4
Agora, precisamos combinar as condições que encontramos para o numerador e o denominador:
- Do numerador:
- Do denominador:
ou
Vamos ver onde essas condições se sobrepõem:
-
Quando
e : - Isso equivale ao intervalo
- Isso equivale ao intervalo
-
Quando
e : - Isso equivale ao intervalo
- Isso equivale ao intervalo
Portanto, a função está bem definida nesses dois intervalos.
Resposta
O domínio da função é: