Determine o domínio das funções abaixo:
raizx+1raizx^2-4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para determinar o domínio da função:
raizx+1raizx^2-4 x+3
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa função está bem definida, ou seja, onde todas as expressões dentro das raízes quadradas são válidas e o denominador não é zero. Vamos precisar usar conceitos de funções e radicais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função: x + 1 >= 0 .
Para uma raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela (chamado de radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
x >= -1
Resolvendo essa inequação:
Isso nos diz que precisa ser pelo menos para que a raiz no numerador exista.

Passo 3

Agora, vamos para o denominador: x^2 - 4x + 3 = 0 .
Primeiro, igualamos o radicando a zero para encontrar os pontos críticos:
(x - 1)(x - 3) = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos fatorar:
x < 1 ou x > 3
Então, as soluções são e .
Queremos que o radicando seja maior que zero (não apenas maior ou igual) porque está no denominador e a expressão não pode ser zero. Então, analisamos os intervalos:
  1. Para :
    • Testando :
  2. Para :
    • Testando :
  3. Para :
    • Testando :
Portanto, o denominador é positivo quando:

Passo 4

Agora, precisamos combinar as condições que encontramos para o numerador e o denominador:
  • Do numerador:
  • Do denominador: ou
Vamos ver onde essas condições se sobrepõem:
  1. Quando e :
    • Isso equivale ao intervalo
  2. Quando e :
    • Isso equivale ao intervalo
Portanto, a função está bem definida nesses dois intervalos.

Resposta

O domínio da função é:
[-1, 1) cup (3, infty)

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