a) Esboce o gráfico de y=raiz1+x^2

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Esboçar o gráfico de y= raiz1+x^2. Vamos usar conceitos de domínio e imagem, simetria de funções, monotonicidade e comportamento assintótico para construir o esboço.

Passo 2

Determinar domínio e imagem: A expressão dentro da raiz, 1+x^2, é sempre positiva para todo xinR, então o domínio é R. Como raiz1+x^2>=1, a imagem é [1,+infty).

Passo 3

Verificar simetria e monotonicidade: A função é par, pois f(-x)=raiz1+(-x)^2=raiz1+x^2=f(x), logo é simétrica em relação ao eixo y. Calculando a derivada para x>0, temos f'(x)=x/raiz1+x^2>0, ou seja, a função cresce em [0,+infty) e, por simetria, decresce em (−infty,0].

Passo 4

Identificar pontos notáveis: Em x=0, y=raiz1=1. Em x=1, y=raiz2. Em x=2, y=raiz5. Pelos pares ±1,±2, teremos os mesmos valores de y.

Passo 5

Analisar comportamento para grandes valores de x: Quando |x| cresce muito, raiz1+x^2approx|x|, então a curva se aproxima da reta y=|x|, sem atravessá-la. Com essas informações, traçamos uma curva suave, simétrica, com vértice em (0,1), passando pelos pontos citados e tendendo a y=|x| nas extremidades.

Resposta

O gráfico de y=raiz1+x^2 é uma curva lisa e simétrica em torno do eixo y, com mínimo em (0,1), passando por (pm1,raiz2) e (pm2,raiz5), e aproximando-se da reta y=|x| quando xtopminfty.

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