a) Esboce o gráfico de
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: Esboçar o gráfico de y=
. Vamos usar conceitos de domínio e imagem, simetria de funções, monotonicidade e comportamento assintótico para construir o esboço.
Passo 2
Determinar domínio e imagem: A expressão dentro da raiz,
, é sempre positiva para todo
, então o domínio é
. Como
, a imagem é
.
Passo 3
Verificar simetria e monotonicidade: A função é par, pois
, logo é simétrica em relação ao eixo
. Calculando a derivada para
, temos
, ou seja, a função cresce em
e, por simetria, decresce em
.
Passo 4
Identificar pontos notáveis: Em
,
. Em
,
. Em
,
. Pelos pares
, teremos os mesmos valores de
.
Passo 5
Analisar comportamento para grandes valores de x: Quando
cresce muito,
, então a curva se aproxima da reta
, sem atravessá-la. Com essas informações, traçamos uma curva suave, simétrica, com vértice em
, passando pelos pontos citados e tendendo a
nas extremidades.
Resposta
O gráfico de
é uma curva lisa e simétrica em torno do eixo
, com mínimo em
, passando por
e
, e aproximando-se da reta
quando
.