Determine os domínio das funções
dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos começar determinando o domínio da função $ f(x) = (x + 2x{3}){4} $. Aqui, estamos trabalhando com funções polinomiais e potências, então vamos precisar entender onde a função está definida e se ela é contínua nesse domínio.
Passo 2
Primeiro, observamos que $ x + 2x^{3} $ é um polinômio. Polinômios são definidos para todo número real, ou seja, não há restrições nos valores de $ x $. Elevando um polinômio à quarta potência também não impõe restrições adicionais.
Passo 3
Como não há restrições, o domínio de $ f(x) $ é todos os números reais.
Passo 4
Agora, para mostrar que a função é contínua, lembramos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. A composição de funções contínuas (neste caso, o polinômio dentro da potência) também é contínua. Portanto, $ f(x) $ é contínua para todo $ x $ real.
Passo 5
Vamos para a função definida por partes:
Aqui, precisamos encontrar onde cada parte da função está definida e garantir que não há conflitos entre elas.
Passo 6
Primeiro, $ x^{2} $ é definido para todo $ x $. Já $ \sqrt{x} $ está definida apenas para $ x \geq 0 $. Porém, como na definição da função a raiz quadrada só é usada quando $ x \geq 1 $, não há problema adicional.
Passo 7
Portanto, o domínio de $ f(x) $ é todo $ x $ real, já que todas as partes estão bem definidas nos intervalos especificados.
Passo 8
Para a continuidade, verificamos os pontos onde a definição da função muda, ou seja, em $ x = 1 $. Calculamos o limite à esquerda:
E o limite à direita:
Como ambos os limites são iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 1 $ ($ \sqrt{1} = 1 $), a função é contínua em $ x = 1 $ e, por extensão, em todo o seu domínio.
Passo 9
Agora, consideramos a função:
Precisamos determinar o domínio e verificar a continuidade, especialmente no ponto $ x = 0 $.
Passo 10
Para $ x \neq 0 $, $ \cos \frac{1}{x} $ está definido para todo $ x $ diferente de zero. Em $ x = 0 $, definimos a função como 0. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 11
Para a continuidade em $ x = 0 $, calculamos o limite:
Como $ \cos \frac{1}{x} $ está entre -1 e 1, temos:
E como $ x^{4} \to 0 $ quando $ x \to 0 $, pelo Teorema do Sandwich, o limite é 0, que coincide com $ f(0) = 0 $. Assim, a função é contínua em $ x = 0 $ e em todo o seu domínio.
Passo 12
Por último, temos a função:
Vamos determinar seu domínio, verificando onde o denominador não é zero e onde as expressões estão definidas.
Passo 13
Primeiro, $ \tan x $ está definido para todo $ x $ que não seja $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é inteiro. Já $ \sqrt{4 - x^{2}} $ está definido quando $ 4 - x^{2} \geq 0 $, ou seja, quando $ -2 \leq x \leq 2 $.
Passo 14
Além disso, o denominador não pode ser zero, então $ \sqrt{4 - x^{2}} \neq 0 $, o que ocorre quando $ x \neq \pm 2 $.
Passo 15
Portanto, combinando as restrições, o domínio de $ f(x) $ é:
Passo 16
Para verificar a continuidade, observamos que $ \tan x $ e $ \sqrt{4 - x^{2}} $ são funções contínuas em seus respectivos domínios. A divisão de duas funções contínuas (com o denominador diferente de zero) também é contínua. Portanto, $ f(x) $ é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
(a) O domínio de $ f(x) = (x + 2x{3}){4} $ é todos os números reais, e a função é contínua em todo o seu domínio.
(b) O domínio de $ f(x) $ definido por partes é todos os números reais, e a função é contínua em todo o seu domínio.
© O domínio de $ f(x) $ é todos os números reais, e a função é contínua em todo o seu domínio.
(d) O domínio de $ f(x) = \frac{\tan x}{\sqrt{4 - x^{2}}} $ é $ -2 < x < 2 $ e $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ para todo inteiro $ k $, e a função é contínua em todo o seu domínio.