Seja
. Suponha que
. Calcule:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ e sabemos que
. Isso está relacionado ao conceito de limite, que é fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver os itens (a) e (b), vamos usar propriedades de limites e substituições adequadas.
Passo 2
Item (a): Queremos calcular
.
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja $ u = 3x $. Quando $ x $ se aproxima de 0, $ u $ também se aproxima de 0. Então, podemos reescrever o limite em termos de $ u $:
Sabemos que
(pela condição dada). Portanto:
Item (b): Queremos calcular
.
Aqui, vamos observar que quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} - 1 $ se aproxima de 0, pois $ 1^{2} - 1 = 0 $. Vamos fazer a substituição $ u = x^{2} - 1 $. Quando $ x $ se aproxima de 1, $ u $ se aproxima de 0. Precisamos expressar $ x-1 $ em termos de $ u $:
Então, o limite fica:
Sabemos que
e
. Portanto:
Resposta
(a) O limite é 3.
(b) O limite é 2.