Seja f: R R. Suponha que lim x 0 f(x)x=1. Calcule:
(a) lim x 0 f(3 x)x
(b) lim x 1 f(x^2-1)x-1

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ e sabemos que f: R R . Isso está relacionado ao conceito de limite, que é fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver os itens (a) e (b), vamos usar propriedades de limites e substituições adequadas.

Passo 2

Item (a): Queremos calcular limx 0 f(3x)x.
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja $ u = 3x $. Quando $ x $ se aproxima de 0, $ u $ também se aproxima de 0. Então, podemos reescrever o limite em termos de $ u $:
u = 3x
Sabemos que x (pela condição dada). Portanto:
u
Item (b): Queremos calcular u .
Aqui, vamos observar que quando $ x $ se aproxima de 1, $ x^{2} - 1 $ se aproxima de 0, pois $ 1^{2} - 1 = 0 $. Vamos fazer a substituição $ u = x^{2} - 1 $. Quando $ x $ se aproxima de 1, $ u $ se aproxima de 0. Precisamos expressar $ x-1 $ em termos de $ u $:
limx 0 f(3x)x = limu 0 f(u)u3 = 3 limu 0 f(u)u
Então, o limite fica:
limu 0 f(u)u = 1
Sabemos que 3 times 1 = 3 e limx 1 f(x^2-1)x-1. Portanto:
x

Resposta

(a) O limite é 3.
(b) O limite é 2.

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