Determine os domínio das funções f\) dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio).
\(f(x)= \begin{cases}x^{4} \cos \frac{1}{x} & \text { se } x \neq 0, \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
e pede (a) o domínio de f e (b) mostrar que f é contínua em todo ponto do seu domínio. Vamos usar noções de domínio de funções elementares, continuidade de composições e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 2
Para encontrar o domínio, observamos que para x\neq 0 aparecem as expressões x^{4} e \cos\!\bigl(1/x\bigr), que são sempre definidas em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Além disso, o valor em x=0 está explicitamente dado. Logo o domínio de f é
\mathbb{R}.
Passo 3
Se x_{0}\neq 0, então em torno de x_{0} nós temos que x^{4} e \cos\!\bigl(1/x\bigr) são funções contínuas (produto e composição de contínuas). Portanto, a função
x\mapsto x^{4}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)
é contínua em todo ponto x_{0}\neq 0.
Passo 4
Falta verificar a continuidade em x=0. Queremos mostrar que