Determine os domínio das funções f\) dadas abaixo e mostre que são contínuas (isto é, contínua em todos os pontos de seu domínio). \(f(x)= \begin{cases}x^{4} \cos \frac{1}{x} & \text { se } x \neq 0, \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{4}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&\text{se }x\neq 0,\\\\ 0,&\text{se }x=0, \end{cases}
e pede (a) o domínio de f e (b) mostrar que f é contínua em todo ponto do seu domínio. Vamos usar noções de domínio de funções elementares, continuidade de composições e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para encontrar o domínio, observamos que para x\neq 0 aparecem as expressões x^{4} e \cos\!\bigl(1/x\bigr), que são sempre definidas em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Além disso, o valor em x=0 está explicitamente dado. Logo o domínio de f é
\mathbb{R}.

Passo 3

Se x_{0}\neq 0, então em torno de x_{0} nós temos que x^{4} e \cos\!\bigl(1/x\bigr) são funções contínuas (produto e composição de contínuas). Portanto, a função
x\mapsto x^{4}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)
é contínua em todo ponto x_{0}\neq 0.

Passo 4

Falta verificar a continuidade em x=0. Queremos mostrar que
\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=0.
Para x\neq 0 vale
\bigl|f(x)\bigr| =\bigl|x^{4}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr| \le |x^{4}|\cdot\underbrace{\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr|}_{\le 1} =|x|^{4}.
Como \lim_{x\to 0}|x|^{4}=0, pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0).
Logo f é contínua em 0.

Resposta

O domínio de f é \mathbb{R} e a função f é contínua em todo ponto de seu domínio.

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