Exercício 14. Seja a forma diferencial y d x-x d y+z d z.
a) A forma diferencial é exata, ou seja, o campo F(x, y, z)=\langle y,-x, z\rangle é conservativo?
b) Calcule \int_{C} y d x-x d y+z d z, em que C é a interseção do plano z=x com a superfície cilíndrica 4 x^{2}+y^{2}-2 y=0. Escolha o sentido horário no plano x y.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
\omega = y\,dx - x\,dy + z\,dz
associada ao campo
F(x,y,z)=\langle y,\,-x,\,z\rangle
e pede:
  1. verificar se \omega é exata (isto é, se F é conservativo), e
  2. calcular \displaystyle\int_{C}y\,dx - x\,dy + z\,dz, onde C é a curva fechada dada pela interseção do plano z=x com o cilindro
4x^2 + y^2 - 2y = 0,
no sentido horário visto de cima (plano xy).
O conteúdo envolvido é: teste de conservatividade via rotor (curl) e cálculo de integral de linha parametrizando a curva.

Passo 2

Para ver se F é conservativo basta computar o rotor
\nabla \times F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ y & -x & z \end{vmatrix} =(0-0)\,\mathbf i - (0-0)\,\mathbf j +\bigl(-1-1\bigr)\,\mathbf k = \langle 0,\,0,\,-2\rangle.
Como \nabla\times F\neq 0, o campo não é conservativo e a forma não é exata.

Passo 3

A curva C satisfaz
4x^2 + y^2 -2y = 0 \;\Longleftrightarrow\; 4x^2 + (y-1)^2 = 1,
que é uma elipse no plano xy com semi-eixos a=\tfrac12 em x e b=1 em y, centrada em (0,1). Além disso z=x, logo C vive no plano inclinado. Para parametrizar no sentido horário (visto de cima), partimos de t=0 em (x,y)=(\tfrac12,1) e seguimos para baixo.

Passo 4

Uma parametrização conveniente é
\begin{cases} x(t)=\tfrac12\cos t,\\\ y(t)=1-\sin t,\\\ z(t)=x(t)=\tfrac12\cos t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi].
Em efeito, ao aumentar t a curva gira no sentido horário.

Passo 5

Calculamos
dx = -\tfrac12\sin t\,dt,\quad dy = -\cos t\,dt,\quad dz = -\tfrac12\sin t\,dt.
Então o integrando fica
y\,dx - x\,dy + z\,dz =(1-\sin t)\bigl(-\tfrac12\sin t\,dt\bigr) -\bigl(\tfrac12\cos t\bigr)\bigl(-\cos t\,dt\bigr) +\bigl(\tfrac12\cos t\bigr)\bigl(-\tfrac12\sin t\,dt\bigr).
Expandindo e somando termos chega-se a
\bigl[\,\tfrac12 - \tfrac12\sin t - \tfrac14\sin t\cos t\,\bigr]dt.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\sin t - \tfrac14\sin t\cos t\Bigr)dt =\int_{0}^{2\pi}\tfrac12\,dt -\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt -\tfrac14\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt =\pi-0-0 =\pi.

Resposta

a) A forma não é exata (o rotacional de F é \langle0,0,-2\rangle\neq0).
b) \displaystyle\int_{C}y\,dx - x\,dy + z\,dz = \pi.

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