Exercício 14. Seja a forma diferencial y d x-x d y+z d z.
a) A forma diferencial é exata, ou seja, o campo F(x, y, z)=\langle y,-x, z\rangle é conservativo?
b) Calcule \int_{C} y d x-x d y+z d z, em que C é a interseção do plano z=x com a superfície cilíndrica 4 x^{2}+y^{2}-2 y=0. Escolha o sentido horário no plano x y.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma diferencial
\omega = y\,dx - x\,dy + z\,dz
associada ao campo
F(x,y,z)=\langle y,\,-x,\,z\rangle
e pede:
verificar se \omega é exata (isto é, se F é conservativo), e
calcular \displaystyle\int_{C}y\,dx - x\,dy + z\,dz, onde C é a curva fechada dada pela interseção do plano z=x com o cilindro
4x^2 + y^2 - 2y = 0,
no sentido horário visto de cima (plano xy).
O conteúdo envolvido é: teste de conservatividade via rotor (curl) e cálculo de integral de linha parametrizando a curva.
Passo 2
Para ver se F é conservativo basta computar o rotor
\nabla \times F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ y & -x & z \end{vmatrix} =(0-0)\,\mathbf i - (0-0)\,\mathbf j +\bigl(-1-1\bigr)\,\mathbf k = \langle 0,\,0,\,-2\rangle.
Como \nabla\times F\neq 0, o campo não é conservativo e a forma não é exata.
que é uma elipse no plano xy com semi-eixos a=\tfrac12 em x e b=1 em y, centrada em (0,1). Além disso z=x, logo C vive no plano inclinado. Para parametrizar no sentido horário (visto de cima), partimos de t=0 em (x,y)=(\tfrac12,1) e seguimos para baixo.