Considere uma placa metálica cujo formato é dado pelo disco
. Devido ao material do qual esta placa é composta, podemos expressar a temperatura em seus pontos pela função
- Determime os pontos críticos da função
no interior do disco
4
- Usando Multiplicador de Lagrange determine os pontos de máximo ou mínimo de
na fronteira de D .
Passo 1
O enunciado dá a placa como o disco
e a temperatura
Queremos (i) os pontos críticos de
no interior de
(sem restrição) e (ii) na fronteira
usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para achar os críticos interiores, calculamos as derivadas parciais:
Impondo
:
Passo 3
Das soluções
e
, só
satisfaz
. Logo, há um único crítico interior:
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
Em
vale
e
, o que mostra Hessiano definido negativo:
é máximo local.
Passo 4
Na fronteira impomos
e usamos Lagrange:
]
Passo 5
Da segunda equação surgem dois casos:
Caso A:
. Então
, isto é
ou
. Pontos críticos:
Caso B:
. Divide-se por
:
Substituindo na
ª equação:
Em
a restrição leva a
(contradição com
). Em
vem
, logo
Passo 6
Calculamos
nos pontos obtidos:
Em
:
Em
:
Em
e
:
Passo 7
Comparando valores em toda a região fechada:
– Interior: em
temos
que é valor máximo global.
– Na fronteira, o maior valor é
em
e
, e o menor é
em
. O ponto
não é extremante no contorno.
Resposta
Pontos críticos no interior de
:
, que é máximo local (e global) com
.
Pontos de extremum na fronteira
:
máximos em e
com
,
mínimo em com
.
máximos em
mínimo em