II Um fio longo e oco tem um raio interno R_{1} e um raio externo R_{2}. O fio conduz uma corrente I uniformemente distribuída através de sua secção transversal. Use a lei de Ampère para obter uma expressão para a intensidade do campo magnético em três regiões: 0<r <R_{1}, R_{1}<r<R_{2} e R_{2}<r.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico longo e oco, com raio interno R_{1} e raio externo R_{2}, que transporta uma corrente total I distribuída uniformemente na sua seção transversal (entre R_{1} e R_{2}). O objetivo é encontrar o campo magnético \mathbf{B} em função da distância radial r ao eixo, em três regiões:
1. 0<r<R_{1} 2. R_{1}<r<R_{2} 3. r>R_{2}
Para isso, vamos usar a lei de Ampère, que para um círculo de raio r concêntrico ao fio diz:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total envolvida pelo caminho de integração.

Passo 2

Na região 0<r<R_{1} não há condutor (é o vazio interno), logo a corrente envolvida pelo círculo de raio r é zero, I_{\text{enc}}=0. Como \mathbf{B} deve ser tangencial e de módulo constante ao longo do caminho, temos
B\,(2\pi r) = \mu_{0}\,0
e portanto
B(r)=0.

Passo 3

Para R_{1}<r<R_{2} estamos dentro do material condutor. A densidade de corrente (por área) é uniforme e vale
J = \frac{I}{\pi\bigl(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\bigr)}.
A corrente envolvida até um raio genérico r é a densidade vezes a área anelar entre R_{1} e r:
I_{\text{enc}} = J\;\pi\bigl(r^{2}-R_{1}^{2}\bigr) = \frac{I}{\pi\bigl(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\bigr)}\;\pi\bigl(r^{2}-R_{1}^{2}\bigr) = I\,\frac{r^{2}-R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}.
Aplicando Ampère:
B\,(2\pi r) = \mu_{0}\,I_{\text{enc}} = \mu_{0}\,I\,\frac{r^{2}-R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}},
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B(r) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}\,\frac{r^{2}-R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}.

Passo 4

Para r>R_{2} o círculo de raio r envolve toda a corrente I. A lei de Ampère dá
B\,(2\pi r) = \mu_{0}\,I
e assim
B(r) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}.

Resposta

Em resumo, o módulo do campo magnético em função de r é
B(r)= \begin{cases} 0, & 0<r<R_{1},\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}\,\frac{r^{2}-R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}, & R_{1}<r<R_{2},\\[8pt] \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}, & r>R_{2}. \end{cases}
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