Determine o domínio das funções F(p)=\sqrt{2-\sqrt{p}} e h(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede o domínio de cada uma:
  • F(p)=\sqrt{2-\sqrt{p}}.
  • h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
As perguntas são:
  1. Qual o conjunto de todos os valores de p para os quais F(p) está bem definida?
  2. Qual o conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) está bem definida?

Passo 2

Entendendo o que impede uma função de estar definida (no caso destas expressões):
  • A operação \sqrt{\cdot} exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{A} ser real precisamos de A\ge0.
  • Uma fração \dfrac{1}{B} exige que B\neq0.
Vou aplicar essas regras com calma à função F(p).

Passo 3

Analisando F(p)=\sqrt{2-\sqrt{p}}:
  1. Primeiro requisito: o radical interno \sqrt{p} precisa estar definido. Assim
p \ge 0.
  1. Segundo requisito: o argumento do radical externo deve ser não negativo:
2-\sqrt{p} \ge 0.
Isto é equivalente a
\sqrt{p} \le 2.
  1. Como \sqrt{p} é sempre não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado preservando a desigualdade:
(\sqrt{p})^{2} \le 2^{2}\quad\Rightarrow\quad p \le 4.
  1. Combinando os dois requisitos p\ge0 e p\le4, obtemos
0 \le p \le 4.
  1. Verificação rápida com exemplos: p=0 F(0)=\sqrt{2} (ok); p=4 F(4)=0 (ok); p=5 faria \sqrt{p}>\!2 e 2-\sqrt{p}<0 (inválido).
Portanto o domínio de F é o intervalo [0,4].

Passo 4

Analisando h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}:
  1. O argumento do radical deve ser não negativo:
1-x^{2} \ge 0.
  1. Além disso, como o radical aparece no denominador, não podemos ter \sqrt{1-x^{2}}=0. Assim precisamos de
1-x^{2} > 0.
  1. Resolver 1-x^{2}>0:
-x^{2} > -1 \quad\Rightarrow\quad x^{2} < 1.
Da desigualdade x^{2}<1 segue
-1 < x < 1.
  1. Verificações: x=0 funciona e dá h(0)=1. x=1 e x=-1 são proibidos porque levariam ao denominador zero.
Portanto o domínio de h é o intervalo (-1,1).

Resposta

Domínio de F: [0,4]
Domínio de h: (-1,1)

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