Determine o domínio das funções
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede o domínio de cada uma:
-
. -
.
As perguntas são:
- Qual o conjunto de todos os valores de
para os quais está bem definida? - Qual o conjunto de todos os valores de
para os quais está bem definida?
Passo 2
Entendendo o que impede uma função de estar definida (no caso destas expressões):
- A operação
exige que o argumento seja maior ou igual a zero. Ou seja, para ser real precisamos de . - Uma fração
exige que .
Vou aplicar essas regras com calma à função
.
Passo 3
Analisando
:
- Primeiro requisito: o radical interno
precisa estar definido. Assim
- Segundo requisito: o argumento do radical externo deve ser não negativo:
Isto é equivalente a
- Como
é sempre não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado preservando a desigualdade:
- Combinando os dois requisitos
e , obtemos
- Verificação rápida com exemplos:
dá (ok); dá (ok); faria e (inválido).
Portanto o domínio de
é o intervalo
.
Passo 4
Analisando
:
- O argumento do radical deve ser não negativo:
- Além disso, como o radical aparece no denominador, não podemos ter
. Assim precisamos de
- Resolver
:
Da desigualdade
segue
- Verificações:
funciona e dá . e são proibidos porque levariam ao denominador zero.
Portanto o domínio de
é o intervalo
.
Resposta
Domínio de
:
Domínio de :
Domínio de