Determine uma função linear f tal que f(0)=2 e f(5)=-3. Para que valores de x os valores f(x) são positivos?

Passo 1

O enunciado dá uma função linear f e fornece duas informações: f(0)=2 e f(5)=-3. As perguntas são:
  • Determinar a expressão da função linear f(x).
  • Determinar para quais valores de x o valor f(x) é positivo.
Lista das informações relevantes:
  • Valor de f em x=0: f(0)=2.
  • Valor de f em x=5: f(5)=-3.

Passo 2

Forma geral de uma função linear e interpretação dos parâmetros.
Uma função linear (reta) pode ser escrita como
f(x)=m x + b,
onde:
  • m é o coeficiente angular (a inclinação da reta). Ele indica quanto f(x) muda quando x aumenta em 1.
  • b é o coeficiente linear (ordenada na origem), isto é, o valor de f(x) quando x=0.
Também é útil lembrar a fórmula do coeficiente angular a partir de dois pontos (x_1,f(x_1)) e (x_2,f(x_2)):
m = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Essa fórmula vem da ideia de "variação em y sobre variação em x".

Passo 3

Usar f(0)=2 para encontrar b.
Substituindo x=0 em f(x)=m x + b obtemos
f(0)=m\cdot 0 + b = b.
Como f(0)=2, segue que
b=2.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular m usando o ponto x=5 com f(5)=-3.
Aplicando a fórmula do coeficiente angular entre os pontos (0,f(0))=(0,2) e (5,f(5))=(5,-3):
m = \frac{f(5)-f(0)}{5-0} = \frac{-3 - 2}{5} = \frac{-5}{5} = -1.
Expliquei passo a passo: o numerador -3-2 -5, dividido por 5 resulta em -1.

Passo 5

Escrever a função f(x) com os valores encontrados.
Substituindo m=-1 e b=2 em f(x)=m x + b, obtemos
f(x) = -1\cdot x + 2 = -x + 2.

Passo 6

Verificar rapidamente com os pontos dados (sanity check).
  • Para x=0: f(0) = -0 + 2 = 2, confere com o dado.
  • Para x=5: f(5) = -5 + 2 = -3, confere com o dado.

Passo 7

Determinar para quais x vale f(x)>0.
Começamos da desigualdade
f(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x + 2 > 0.
Isolando x:
-x > -2.
Ao multiplicar ambos os lados por -1 é preciso inverter o sinal da desigualdade, portanto
x < 2.
Podemos checar com exemplos: para x=1 temos f(1)=1>0; para x=3 temos f(3)=-1<0. Em x=2 temos f(2)=0.

Resposta

f(x) = -x + 2
f(x)>0 para x<2

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