Determine uma função linear
tal que
e
. Para que valores de
os valores
são positivos?
Passo 1
O enunciado dá uma função linear
e fornece duas informações:
e
. As perguntas são:
- Determinar a expressão da função linear
. - Determinar para quais valores de
o valor é positivo.
Lista das informações relevantes:
- Valor de
em : . - Valor de
em : .
Passo 2
Forma geral de uma função linear e interpretação dos parâmetros.
Uma função linear (reta) pode ser escrita como
onde:
-
é o coeficiente angular (a inclinação da reta). Ele indica quanto muda quando aumenta em . -
é o coeficiente linear (ordenada na origem), isto é, o valor de quando .
Também é útil lembrar a fórmula do coeficiente angular a partir de dois pontos
e
:
Essa fórmula vem da ideia de "variação em
sobre variação em
".
Passo 3
Usar
para encontrar
.
Substituindo
em
obtemos
Como
, segue que
Passo 4
Calcular o coeficiente angular
usando o ponto
com
.
Aplicando a fórmula do coeficiente angular entre os pontos
e
:
Expliquei passo a passo: o numerador
dá
, dividido por
resulta em
.
Passo 5
Escrever a função
com os valores encontrados.
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 6
Verificar rapidamente com os pontos dados (sanity check).
- Para
: , confere com o dado. - Para
: , confere com o dado.
Passo 7
Determinar para quais
vale
.
Começamos da desigualdade
Isolando
:
Ao multiplicar ambos os lados por
é preciso inverter o sinal da desigualdade, portanto
Podemos checar com exemplos: para
temos
; para
temos
. Em
temos
.