Determine se as funções seguintes são pares, ímpares ou nenhuma destas alternativas:
\tan (x) (a função tangente de x );

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função \tan(x) é par, ímpar ou nenhuma destas alternativas. A única informação dada é a própria função \tan(x).

Passo 2

Definições úteis (isso é o que a prova quer que você saiba e use):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio de f,
f(-x)=f(x).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio de f,
f(-x)=-f(x).
Observação importante: para perguntar se uma função é par ou ímpar, o domínio precisa ser simétrico em relação a zero (ou seja, se x pertence ao domínio então -x também deve pertencer). Se o domínio não for simétrico, a noção de par/ímpar não se aplica.

Passo 3

Identificar o domínio de \tan(x):
\text{dom}(\tan)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Agora verificar se esse domínio é simétrico: se x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi então
-x = -\tfrac{\pi}{2}-k\pi = \tfrac{\pi}{2}+m\pi
com m=-1-k\in\mathbb{Z}. Assim, os pontos excluídos vêm em pares simétricos e, portanto, se x está no domínio então também -x está no domínio. Logo o domínio é simétrico e faz sentido falar em paridade.

Passo 4

Usar a expressão em termos de seno e cosseno e as paridades conhecidas:
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Sabemos (ou deve-se saber na prova) que
\sin(-x)=-\sin(x)\quad\text{(seno é ímpar)}éí
e
\cos(-x)=\cos(x)\quad\text{(cosseno é par)}.é

Passo 5

Calcular \tan(-x) usando as propriedades acima:
\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).
Esse cálculo é válido para todo x do domínio de \tan (visto no Passo 3).

Passo 6

Interpretação: como para todo x do domínio vale \tan(-x)=-\tan(x), pela definição do Passo 2 a função \tan(x) é ímpar. Geometricamente isso significa que o gráfico de \tan é simétrico em relação à origem (por exemplo, \tan(\tfrac{\pi}{4})=1 e \tan(-\tfrac{\pi}{4})=-1).

Resposta

ímpar

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