Determine se as funções seguintes são pares, ímpares ou nenhuma destas alternativas:
(a função tangente de
);
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é par, ímpar ou nenhuma destas alternativas. A única informação dada é a própria função
.
Passo 2
Definições úteis (isso é o que a prova quer que você saiba e use):
- Uma função
é par se, para todo do domínio de ,
- Uma função
é ímpar se, para todo do domínio de ,
Observação importante: para perguntar se uma função é par ou ímpar, o domínio precisa ser simétrico em relação a zero (ou seja, se
pertence ao domínio então
também deve pertencer). Se o domínio não for simétrico, a noção de par/ímpar não se aplica.
Passo 3
Identificar o domínio de
:
Agora verificar se esse domínio é simétrico: se
então
com
. Assim, os pontos excluídos vêm em pares simétricos e, portanto, se
está no domínio então também
está no domínio. Logo o domínio é simétrico e faz sentido falar em paridade.
Passo 4
Usar a expressão em termos de seno e cosseno e as paridades conhecidas:
Sabemos (ou deve-se saber na prova) que
e
Passo 5
Calcular
usando as propriedades acima:
Esse cálculo é válido para todo
do domínio de
(visto no Passo 3).
Passo 6
Interpretação: como para todo
do domínio vale
, pela definição do Passo 2 a função
é ímpar. Geometricamente isso significa que o gráfico de
é simétrico em relação à origem (por exemplo,
e
).
Resposta
ímpar