Determine uma função quadrática g tal que g(1)=1, g(0)=1 e g(2)=3. Para que valores de x os valores g(x) são positivos?

Passo 1

O enunciado dá três valores de uma função quadrática g e pede duas coisas:
  • Determinar explicitamente a função quadrática g que satisfaz
g(1)=1,\qquad g(0)=1,\qquad g(2)=3.
  • Determinar para quais valores de x a função g(x) é positiva.
Informações relevantes fornecidas:
  • Três pares (x,g(x)): (0,1), (1,1), (2,3).
  • A função é quadrática, ou seja, tem a forma geral com três parâmetros a encontrar.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de uma função quadrática e explicar o que cada coeficiente representa.
A forma geral é
g(x)=ax^{2}+bx+c,
onde:
  • a é o coeficiente do termo quadrático (determina se a parábola abre para cima ou para baixo),
  • b é o coeficiente do termo linear,
  • c é o termo constante (o valor de g em x=0).
Cada ponto dado gera uma equação em a,b,c. Como temos três pontos, teremos um sistema de três equações lineares que permite encontrar a,b,c.

Passo 3

Usar os pontos para escrever o sistema.
Do ponto (0,1) temos
g(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c=1.
Logo
c=1.
Do ponto (1,1) temos
g(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c=1.
Substituindo c=1 obtém-se
a+b+1=1\quad\Rightarrow\quad a+b=0.
Do ponto (2,3) temos
g(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c=4a+2b+c=3.
Substituindo c=1 obtemos
4a+2b+1=3\quad\Rightarrow\quad 4a+2b=2.

Passo 4

Resolver o sistema para a\) e \(b\). Temos as duas equações \[\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] 4a+2b=2. \end{cases}
Da primeira equação, b=-a\]. Substituindo na segunda: \[4a+2(-a)=2\quad\Rightarrow\quad 4a-2a=2\quad\Rightarrow\quad 2a=2\quad\Rightarrow\quad a=1.\] Então \[b=-a=-1.\] E já sabemos \(c=1. Portanto a função é
g(x)=1\cdot x^{2}-1\cdot x+1,
ou seja
g(x)=x^{2}-x+1.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular g(0),g(1),g(2).
g(0)=0-0+1=1,\qquad g(1)=1-1+1=1,\qquad g(2)=4-2+1=3.
Confere com os valores dados.

Passo 6

Agora vamos estudar para quais x temos g(x)>0. Dou a ideia geral primeiro e depois aplico:
Para uma quadrática g(x)=ax^{2}+bx+c:
  • O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Ele indica quantas raízes reais a equação g(x)=0 tem:
    • \Delta>0: duas raízes reais distintas;
    • \Delta=0: uma raiz real dupla;
    • \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas conjugadas).
  • Se a>0 (parábola abre para cima), então g(x) é positiva fora das raízes (ou sempre positiva se não há raízes reais).
  • Se a<0 (parábola abre para baixo), então g(x) é negativa fora das raízes (ou sempre negativa se não há raízes reais).
Aplicando ao nosso caso g(x)=x^{2}-x+1, temos a=1, b=-1, c=1. Calculemos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta=-3<0, a equação g(x)=0 não tem raízes reais. Além disso a=1>0, isto é, a parábola abre para cima. Portanto a função não cruza o eixo x e, abrindo para cima, assume apenas valores positivos (ou nulos) — mas como não há raízes reais, nunca atinge 0, logo é sempre estritamente positiva.

Passo 7

(Complemento didático) Podemos também encontrar o valor mínimo da parábola para ver explicitamente que é maior que zero. O mínimo ocorre no vértice x_{v}=-\dfrac{b}{2a}. Aqui
x_{v}=-\dfrac{-1}{2\cdot1}=\dfrac{1}{2}.
O valor mínimo é
g\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}.
Como o valor mínimo é \dfrac{3}{4}>0, concluímos novamente que g(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

g(x)=x^{2}-x+1
g(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

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