Determine uma função quadrática
tal que
e
. Para que valores de
os valores
são positivos?
Passo 1
O enunciado dá três valores de uma função quadrática
e pede duas coisas:
- Determinar explicitamente a função quadrática
que satisfaz
- Determinar para quais valores de
a função é positiva.
Informações relevantes fornecidas:
- Três pares
: , , . - A função é quadrática, ou seja, tem a forma geral com três parâmetros a encontrar.
Passo 2
Vamos escrever a forma geral de uma função quadrática e explicar o que cada coeficiente representa.
A forma geral é
onde:
-
é o coeficiente do termo quadrático (determina se a parábola abre para cima ou para baixo), -
é o coeficiente do termo linear, -
é o termo constante (o valor de em ).
Cada ponto dado gera uma equação em
. Como temos três pontos, teremos um sistema de três equações lineares que permite encontrar
.
Passo 3
Usar os pontos para escrever o sistema.
Do ponto
temos
Logo
Do ponto
temos
Substituindo
obtém-se
Do ponto
temos
Substituindo
obtemos
Passo 4
Resolver o sistema para
Da primeira equação,
. Portanto a função é
ou seja
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular
.
Confere com os valores dados.
Passo 6
Agora vamos estudar para quais
temos
. Dou a ideia geral primeiro e depois aplico:
Para uma quadrática
:
- O discriminante é
. Ele indica quantas raízes reais a equação tem: -
: duas raízes reais distintas; -
: uma raiz real dupla; -
: nenhuma raiz real (raízes complexas conjugadas).
-
- Se
(parábola abre para cima), então é positiva fora das raízes (ou sempre positiva se não há raízes reais). - Se
(parábola abre para baixo), então é negativa fora das raízes (ou sempre negativa se não há raízes reais).
Aplicando ao nosso caso
, temos
,
,
. Calculemos o discriminante:
Como
, a equação
não tem raízes reais. Além disso
, isto é, a parábola abre para cima. Portanto a função não cruza o eixo
e, abrindo para cima, assume apenas valores positivos (ou nulos) — mas como não há raízes reais, nunca atinge 0, logo é sempre estritamente positiva.
Passo 7
(Complemento didático) Podemos também encontrar o valor mínimo da parábola para ver explicitamente que é maior que zero. O mínimo ocorre no vértice
. Aqui
O valor mínimo é
Como o valor mínimo é
, concluímos novamente que
para todo
.