Determine o domínio das funções reais abaixo:
g(x)=\frac{x-1}{\sqrt[3]{5 x+8}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real
g(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{5x+8}}.
Informações dadas:
  • A função está definida por uma expressão racional onde o numerador é x-1 e o denominador é \sqrt[3]{5x+8}.
  • Precisa-se obter o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão faz sentido (ou seja, o domínio).

Passo 2

Entender as restrições que afetam o domínio — o que pode “dar errado” na expressão.
  • Regra importante 1: Não se pode dividir por zero. Portanto deve valer \sqrt[3]{5x+8}\neq 0.
  • Regra importante 2: A raiz cúbica \sqrt[3]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} (diferente da raiz quadrada, que exige argumento \ge 0). Então não há restrição de existência da raiz cúbica além do cuidado com zero no denominador.
Conclusão desta análise: o único problema possível é quando o denominador é zero.

Passo 3

Determinar quando o denominador é zero, ou seja, resolver a equação
\sqrt[3]{5x+8}=0.
A raiz cúbica é zero exatamente quando seu argumento é zero, portanto resolvemos
5x+8=0.

Passo 4

Resolver a equação linear 5x+8=0:
5x=-8 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{8}{5}.
Esse é exatamente o valor que anula o denominador. Logo x=-\dfrac{8}{5} não pode estar no domínio.

Passo 5

Reunindo tudo: não há outras restrições (numerador x-1 é definido para todo x), então o domínio é o conjunto dos reais excluindo x=-\dfrac{8}{5}. Em notação de intervalos isso é
(-\infty,-\tfrac{8}{5})\cup(-\tfrac{8}{5},\infty).
Dica rápida para a prova: sempre verifique duas coisas em expressões com raízes e frações — se a raíz exige argumento não negativo (para raízes pares) e se o denominador pode ser zero; no caso da raiz cúbica só precisa preocupar-se com o zero no denominador.

Resposta

(-\infty,-\tfrac{8}{5})\cup(-\tfrac{8}{5},\infty)

Exercícios relacionados