Determine o domínio das funções reais abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o domínio real dessa função, ou seja, o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão acima está bem definida (é um número real).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Há uma fração
que exige que o denominador não seja zero. - Há uma raiz quadrada
que exige que o radicando seja não-negativo.
Passo 2
Analisar a condição impostA pela fração: o denominador não pode ser zero. Escrevemos a condição e resolvemos:
Somando
em ambos os lados:
Multiplicando por
(ou mudando o sinal dos dois membros):
Explicação didática: uma fração
só está definida se
. Aqui
; portanto exclui-se
.
Passo 3
Analisar a condição imposta pela raiz quadrada: o radicando deve ser maior ou igual a zero:
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo. Subtraindo
dos dois lados:
Ao dividir por
devemos lembrar que a desigualdade inverte o sinal (regra importante: dividir por número negativo troca
por
):
Explicação didática: para garantir que
seja real usamos a condição
. A operação de dividir por
exige atenção ao sinal da desigualdade.
Passo 4
Agora combinamos as duas condições que encontramos:
- da fração:
; - da raiz:
.
A função está definida exatamente quando as duas condições valem simultaneamente, isto é, para os
tais que
e, ao mesmo tempo,
.
Passo 5
Verificações pontuais (para ter segurança):
- Em
: o radicando é e ; o denominador é . Logo é permitido. - Em
: o radicando é (a raiz estaria bem definida), mas o denominador é , o que torna a fração indefinida. Portanto deve ser excluído.