Determine o domínio das funções reais abaixo:
i(x)=\frac{x-1}{-x-5}+\sqrt{-3 x+6}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
i(x)=\frac{x-1}{-x-5}+\sqrt{-3x+6}
e pede o domínio real dessa função, ou seja, o conjunto de todos os valores de x\in\mathbb{R} para os quais a expressão acima está bem definida (é um número real).
Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma fração \dfrac{x-1}{-x-5} que exige que o denominador não seja zero.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{-3x+6} que exige que o radicando seja não-negativo.

Passo 2

Analisar a condição impostA pela fração: o denominador não pode ser zero. Escrevemos a condição e resolvemos:
-x-5 \neq 0.
Somando 5 em ambos os lados:
-x \neq 5.
Multiplicando por -1 (ou mudando o sinal dos dois membros):
x \neq -5.
Explicação didática: uma fração \dfrac{A}{B} só está definida se B\neq 0. Aqui B=-x-5; portanto exclui-se x=-5.

Passo 3

Analisar a condição imposta pela raiz quadrada: o radicando deve ser maior ou igual a zero:
-3x+6 \ge 0.
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo. Subtraindo 6 dos dois lados:
-3x \ge -6.
Ao dividir por -3 devemos lembrar que a desigualdade inverte o sinal (regra importante: dividir por número negativo troca \ge por \le):
x \le 2.
Explicação didática: para garantir que \sqrt{\cdot} seja real usamos a condição \text{radicando} \ge 0. A operação de dividir por -3 exige atenção ao sinal da desigualdade.

Passo 4

Agora combinamos as duas condições que encontramos:
  • da fração: x \neq -5;
  • da raiz: x \le 2.
A função está definida exatamente quando as duas condições valem simultaneamente, isto é, para os x tais que x \le 2 e, ao mesmo tempo, x \neq -5.

Passo 5

Verificações pontuais (para ter segurança):
  • Em x=2: o radicando é -3\cdot2+6=0 e \sqrt{0}=0; o denominador é -2-5=-7\neq0. Logo x=2 é permitido.
  • Em x=-5: o radicando é -3(-5)+6=15+6=21>0 (a raiz estaria bem definida), mas o denominador é -(-5)-5=5-5=0, o que torna a fração indefinida. Portanto x=-5 deve ser excluído.

Resposta

(-\infty,-5)\cup(-5,2]

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