Determine o domínio das funções reais abaixo:
h(x)=\sqrt{-2 x-11}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real
h(x)=\sqrt{-2 x-11}.
Informações que o enunciado nos dá e que são relevantes:
  • A função é dada por uma raiz quadrada (símbolo \sqrt{\;}) aplicada à expressão -2x-11.
  • A pergunta é: para quais valores reais de x a expressão acima define um número real (ou seja, qual é o conjunto de todos os x possíveis — o domínio)?

Passo 2

O que significa domínio aqui e qual é a regra importante para raízes quadradas reais?
  • Domínio de uma função real é o conjunto de valores de x para os quais a função está bem definida e fornece um número real.
  • Regra para a raiz quadrada de índice par (a raiz quadrada comum): o radicando (a expressão dentro da raiz) precisa ser maior ou igual a zero, porque \sqrt{y} não é real quando y<0. Exemplos rápidos: \sqrt{4}=2 (ok), \sqrt{0}=0 (ok), \sqrt{-1} não é um número real (não está no domínio das funções reais).
    Portanto, para h(x) ser real precisamos que o radicando -2x-11 seja maior ou igual a zero.

Passo 3

Traduzir a condição do radicando em uma desigualdade:
-2x-11 \ge 0.
Essa desigualdade descreve exatamente os x que tornam o radicando não negativo.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo (explicando cada operação):
  1. Isolar o termo em x somando 11 aos dois lados:
-2x \ge 11.
  1. Agora dividir ambos os lados por -2. Lembrete importante: ao dividir (ou multiplicar) uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade troca de sentido. Por isso, dividindo por -2 obtemos
x \le -\dfrac{11}{2}.
(Explicando o porquê do flip: se a<b e multiplicarmos por um negativo, a ordem se inverte, por exemplo 1<2 mas (-1)>-2. Mesma ideia aplicada ao dividir.)

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • A solução da desigualdade é todos os x que satisfazem x \le -\dfrac{11}{2}.
  • Teste rápido para conferir: escolha x=-6 (que é menor que -\tfrac{11}{2}). Então o radicando vale -2(-6)-11=12-11=1\ge0, e \sqrt{1}=1 é real — OK. Escolha x=-5 (maior que -\tfrac{11}{2}): radicando -2(-5)-11=10-11=-1<0, então não é permitido — também consistente.
  • Portanto os valores permitidos de x são exatamente todos os números reais menores ou iguais a -\dfrac{11}{2}.

Passo 6

Como dica prática para a prova: sempre que aparecer \sqrt{\text{algo}} (índice par), transforme a condição em \text{algo}\ge0 e resolva a desigualdade com cuidado ao multiplicar/dividir por números negativos (troca de sinal). Respira fundo; você já tem a resposta e aplicou as regras básicas certinho — vai dar certo!

Resposta

(-\infty, -\tfrac{11}{2}]

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