Determine o domínio no qual as funções a seguir são analíticas.
f(z)=5 r \cos \theta+r^{4} \cos 4 \theta+i\left(5 r \sin \theta+r^{4} \sin 4 \theta\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função em coordenadas polares
f(z)=5r\cos\theta+r^{4}\cos4\theta+i\bigl(5r\sin\theta+r^{4}\sin4\theta\bigr)
e pede o domínio em que ela é analítica. O conteúdo envolve reconhecer a expressão em termos de z e usar que polinômios são funções inteiras (analíticas em todo \mathbb{C}).

Passo 2

Recordando que z=r e^{i\theta}, temos
5r\cos\theta+i\,5r\sin\theta=5re^{i\theta}=5z \quad\text{e}\quad r^{4}\cos4\theta+i\,r^{4}\sin4\theta=r^{4}e^{i4\theta}=z^{4}.
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f(z)=5z+z^{4}.

Passo 3

Como f(z) é um polinômio em z, ele é diferenciável em toda parte do plano complexo e satisfaz as equações de Cauchy–Riemann globalmente.

Resposta

O domínio de analiticidade de f é todo o plano complexo, isto é, \mathbb{C}.

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